Dwa ciała o masach m₁ i m₂ > m₁ zaczepiono na końcach...- Zadanie Zadanie 18.13: Fizyka 1. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$Δ E_{p 1} = 2 J$

$Δ E_{k 1} = 0, 4 J$

$h = 1 m$

Przyjmujemy, że wartość przyspieszenia grawitacyjnego wynosi:

$g = 10 \frac{m}{s ^{2}}$

Szukane:

$m_{1} = ?$

$m_{2} = ?$

Rozwiązanie:

Niech:

$E_{p 0.1}$ - początkowa energia potencjalna pierwszego ciała,

$E_{p 0.2}$ - początkowa energia potencjalna drugiego ciała,

$E_{k 0.1}$ - początkowa energia kinetyczna pierwszego ciała,

$E_{k 0.2}$ - początkowa energia kinetyczna drugiego ciała,

$E_{p .1}$ - energia potencjalna pierwszego ciała po wykonaniu ruchu,

$E_{p .2}$ - energia potencjalna drugiego ciała po wykonaniu ruchu,

$E_{k .1}$ - energia kinetyczna pierwszego ciała po wykonaniu ruchu,

$E_{k .2}$ - energia kinetyczna drugiego ciała po wykonaniu ruchu.

Zmiany energii potencjalnej i kinetycznej klocków będą miały postać:

$Δ E_{p 1} = E_{p .1} - E_{p 0.1}$

$Δ E_{k 1} = E_{k .1} - E_{k 0.1}$

$Δ E_{p 2} = E_{p .2} - E_{p 0.2}$

$Δ E_{k 2} = E_{k .2} - E_{k 0.2}$

Jeżeli pierwszy klocek wzniósł się na wysokość $h$ to drugi klocek się o tą wysokość obniżył. Niech poziom względem, którego rozważamy układ klocków będzie poziomem początkowym, na którym znajdują się wówczas klocki. Zatem możemy zauważyć, że:

$E_{p 0.1} = 0$

$E_{p 0.2} = 0$

$E_{p .1} = m_{1} g h$

$E_{p .2} = - m_{2} g h$

Wówczas:

$Δ E_{p 1} = m_{1} g h - 0 = m_{1} g h$

$Δ E_{p 2} = - m_{2} g h - 0 = - m_{2} g h$

Klocki są ze sobą połączone, czyli ich prędkości są takie same. Zatem:

$E_{k 0.1} = 0$

$E_{k 0.2} = 0$

$E_{k .1} = \frac{1}{2} m_{1} v^{2}$

$E_{k .2} = \frac{1}{2} m_{2} v^{2}$

Wówczas:

$Δ E_{k 1} = \frac{1}{2} m_{1} v^{2} - 0 = \frac{1}{2} m_{1} v^{2}$

$Δ E_{k 2} = \frac{1}{2} m_{2} v^{2} - 0 = \frac{1}{2} m_{2} v^{2}$

Z tego wynika, że masa pierwszego klocka będzie wynosiła:

$m_{1} g h = Δ E_{p 1} ∣ : g h$

$m_{1} = \frac{Δ E _{p 1}}{g h}$

$m_{1} = \frac{2 J}{10 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 1 m}$

$m_{1} = \frac{2 kg \cdot \frac{m}{s ^{2}}}{10 \frac{m ^{2}}{s ^{2}}}$

$m_{1} = 0, 2 kg$

Zapiszmy zasadę zachowania energii dla tego układu:

$E_{p 0.1} + E_{p 0.2} + E_{k 0.1} + E_{k 0.2} = E_{p .1} + E_{p .2} + E_{k .1} + E_{k .2}$

$0 + 0 + 0 + 0 = m_{1} g h - m_{2} g h + \frac{1}{2} m_{1} v^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v^{2}$

$0 = m_{1} g h - m_{2} \frac{m _{1}}{m _{1}} g h + \frac{1}{2} m_{1} v^{2} + \frac{1}{2} m_{2} \frac{m _{1}}{m _{1}} v^{2}$

$0 = m_{1} g h - \frac{m _{2}}{m _{1}} m_{1} g h + \frac{1}{2} m_{1} v^{2} + \frac{m _{2}}{m _{1}} \frac{1}{2} m_{1} v^{2}$

$0 = Δ E_{p 1} - \frac{m _{2}}{m _{1}} Δ E_{p 1} + Δ E_{k 1} + \frac{m _{2}}{m _{1}} Δ E_{k 1} ∣ + \frac{m _{2}}{m _{1}} Δ E_{p 1} - \frac{m _{2}}{m _{1}} Δ E_{k 1}$