Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$d=30cm=0,3m$  

$\alpha ={30}^{\circ }$  

$\beta ={60}^{\circ }$  

Przyjmujemy, że:

$g=10\frac{m}{s^2}$  

Wykonujemy rysunek pomocniczy:

gdzie α, β są poszczególnymi kątami; r jest promieniem po miski; h i H są wysokościami na jakich znajdują sie punkty A i C; E_pA, E_pB, E_pC są energiami potencjalnymi kostki lodu w poszczególnych punktach; E_kA, E_kB, E_kC są energiami kinetycznymi kostki lodu w poszczególnych punktach; v₀ jest szybkością jaką należy nadać kostce w punkcie A; v jest szybkością, jaką będzie miała powracająca kostka. Wiemy, że promień po jakim porusza się kostka lodu jest połową średnicy miski:

$r=\frac{1}{2}d$  

Korzystając z funkcji trygonometrycznych wyznaczmy wartość wysokości h i H:

$\cos \alpha =\frac{r-h}{r}\Rightarrow r-h=r\cos \alpha \Rightarrow h=r-r\cos \alpha \Rightarrow h=r\left(1-\cos \alpha \right)$  

$\cos \beta =\frac{r-H}{r}\Rightarrow r-H=r\cos \beta \Rightarrow H=r-r\cos \beta \Rightarrow H=r\left(1-\cos \beta \right)$    

Wiemy, że energia potencjalna opisana jest wzorem:

$E_p=mgh$  

gdzie m jest masą ciała, g jest przyspieszeniem ziemskim, h jest wysokością na jakiej znajduje się ciało. Energie potencjalne ciała w poszczególnych punktach będą wynosiły:

$E_{pA}=mgh\Rightarrow E_{pA}=mgr\left(1-\cos \alpha \right)\Rightarrow E_{pA}=\frac{1}{2}mgd\left(1-\cos \alpha \right)$   

$E_{pB}=mgr\Rightarrow E_{pB}=\frac{1}{2}mgd$   

$E_{pC}=mgH\Rightarrow E_{pC}=mgr\left(1-\cos \beta \right)\Rightarrow E_{pC}=\frac{1}{2}mgd\left(1-\cos \beta \right)$   

Rozpatrzmy jeszcze energię potencjalną kostki lodu na dnie miski i oznaczmy ją jako E_kD . Wówczas kostka znajduje się na zerowej wysokości, czyli energia potencjalna ciała jest zerowa:

$E_{pD}=0$  

Energię kinetyczną przedstawiamy wzorem:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$  

gdzie m jest masą ciała, v jest prędkością z jaką porusza się ciało.

 

$a)$  

Rozpatrzmy energię kinetyczną kostki lodu poruszającej się od punktu A do punktu B na poszczególnych wysokościach A, D, B. Przyjmujemy, że kostka lodu zaczyna poruszać się z szybkością v₀ od punktu A. Wówczas energia kinetyczna w tym punkcie będzie opisana wzorem:

$E_{kA}=\frac{m{v}_0^2}{2}$  

Następnie kostka porusza się do punktu D, w którym osiągnie szybkość v:

$E_{kD}=\frac{m{v}^2}{2}$  

W punkcie B kostka powinna zatrzymać się, czyli jej szybkość będzie wynosiła zero. Oznacza to, że:

$E_{kB}=0$  

Zapiszmy zasadę zachowania energii dla kostki poruszającej się z punktu A do D i wyznaczmy wartość szybkości w punkcie D:

$E_{pA}+E_{kA}=E_{pD}+E_{kD}$  

$\frac{1}{2}mgd\left(1-\cos \alpha \right)+\frac{m{v}_0^2}{2}=0+\frac{m{v}^2}{2}$  

$\frac{1}{2}mgd\left(1-\cos \alpha \right)+\frac{m{v}_0^2}{2}=\frac{m{v}^2}{2}\mid :m$  

$\frac{1}{2}gd\left(1-\cos \alpha \right)+\frac{v_0^2}{2}=\frac{v^2}{2}\mid \cdot 2$  

$gd\left(1-\cos \alpha \right)+v_0^2=v^2$  

Pierwiastkujemy i zamieniamy stronami:

$v=\sqrt{gd\left(1-\cos \alpha \right)+v_0^2}$  

Zapiszmy zasadę zachowania energii dla kostki poruszającej się z punktu D do B i poprzez podstawiania wyznaczmy wartość szybkości początkowej w punkcie A:

$E_{pD}+E_{kD}=E_{pB}+E_{kB}$  

$0+\frac{m{v}^2}{2}=\frac{1}{2}mgd+0$    

$\frac{m{v}^2}{2}=\frac{1}{2}mgd\mid \cdot 2$  

$m{v}^2=mgd\mid :m$  

$v^2=gd$  

${\left(\sqrt{gd\left(1-\cos \alpha \right)+v_0^2}\right)}^2=gd$  

$gd\left(1-\cos \alpha \right)+v_0^2=gd$  

$gd-gd\cos \alpha +v_0^2=gd\mid -gd$  

$-gd\cos \alpha +v_0^2=0\mid +gd\cos \alpha$  

$v_0^2=gd\cos \alpha$  

Pierwiastkujemy:

$v_0=\sqrt{gd\cos \alpha }$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_0=\sqrt{10\frac{m}{s^2}\cdot 10\frac{m}{s^2}\cdot \cos {30}^{\circ }}=\sqrt{10\frac{m}{s^2}\cdot 0,3m\cdot 0,866}=$    

$=\sqrt{2,598\frac{m^2}{s^2}}\approx 1,6\frac{m}{s}$    

 

 

$b)$  

Rozpatrzmy energie kinetyczna kostki lodu, gdy porusza się od punktu B do C. W punkcie B energia kinetyczna będzie wynosiła zero, ponieważ szybkość w tym punkcie wynosi zero:

$E_{kB}=0$  

Energia kinetyczna kostki lodu w punkcie D będzie miała postać:

$E_{kD}=\frac{m{v}_D^2}{2}$  

gdzie v_D jest szybkością w tym punkcie. Energia kinetyczna kostki lodu w punkcie C będzie wynosiła:

$E_{kC}=\frac{m{v}^2}{2}$

Zapiszmy zasadę zachowania energii dla kostki lodu poruszającej się z punktu B do D i wyznaczmy jej szybkość w punkcie D:

$E_{pB}+E_{kB}=E_{pD}+E_{kD}$  

$\frac{1}{2}mgd+0=0+\frac{m{v}_D^2}{2}$  

$\frac{1}{2}mgd=\frac{m{v}_D^2}{2}\mid \cdot m$  

$\frac{1}{2}gd=\frac{v_D^2}{2}\mid \cdot 2$  

$gd=v_D^2$

Pierwiastkujemy i zamieniamy stronami:

$v_D=\sqrt{gd}$  

Zapiszmy teraz zasadę zachowania energii dla kostki lodu poruszającej się z punktu D do C i wyznaczmy wartość szybkości w punkcie C:

$E_{pC}+E_{kC}=E_{pD}+E_{kD}$

$\frac{1}{2}mgd\left(1-\cos \beta \right)+\frac{m{v}^2}{2}=0+\frac{m{v}_D^2}{2}$  

$\frac{1}{2}mgd\left(1-\cos \beta \right)+\frac{m{v}^2}{2}=\frac{m{v}_D^2}{2}\mid :m$  

$\frac{1}{2}gd\left(1-\cos \beta \right)+\frac{v^2}{2}=\frac{v_D^2}{2}\mid \cdot 2$  

$gd\left(1-\cos \beta \right)+v^2=v_D^2\mid -gd\left(1-\cos \beta \right)$  

$v^2=v_D^2-gd\left(1-\cos \beta \right)$  

$v^2={\left(\sqrt{gd}\right)}^2-gd+gd\cos \beta$  

$v^2=gd-gd+gd\cos \beta$  

$v^2=gd\cos \beta$  

Pierwiastkujemy:

$v=\sqrt{gd\cos \beta }$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v=\sqrt{10\frac{m}{s^2}\cdot 0,3m\cdot \cos {60}^{\circ }}=\sqrt{10\frac{m}{s^2}\cdot 0,3m\cdot 0,5}=$

$=\sqrt{1,5\frac{m^2}{s^2}}\approx 1,2\frac{m}{s}$