Wiemy, że kula naładowana jest równomiernie, czyli każde dwa jednakowe wycinki tej sfery będą miały taki sam ładunek. Zauważmy, że wielkość wycinka jest wprost proporcjonalna do ładunku, jaki się na nim zgromadzi. Zbadajmy dwa naprzemianległe wycinki tej sfery, czyli takie dla których prosta je łącząca będzie przechodziła przez pewien punk $A$  względem którego badamy natężenie tego pola. Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że wypadkowe natężenia działające w tym punkcie pochodzące od poszczególnych płaszczyzn będą miały taki sam kierunek, ale przeciwne zwroty:

Naszym zadaniem jest udowodnić, że w dowolnie wybranym punkcie A natężenie wewnątrz sfery jest zerowe, czyli spełniona musi być równość:

$E_1=E_2\Rightarrow E_1-E_2=0$  

Zacznijmy od wyznaczenia stosunku wielkości tych wycinków. Korzystając z twierdzenia Talesa możemy zauważyć, że:

$\frac{r_1}{x}=\frac{r_2}{y}$  

$r_1=\frac{x}{y}{r}_2$  

Wówczas pole tych wycinków ma postać:

$P_1=\pi r_1^2=\pi {\left(\frac{x}{y}{r}_2\right)}^2=\frac{x^2}{y^2}\pi r_2^2$  

$P_2=\pi r_2^2$  

Wiemy, że ładunek jest proporcjonalny do powierzchni, czyli:

$Q_1\leftrightarrow P_1$  

$Q_2\leftrightarrow P_2$  

Wówczas ładunek dla tych wycinków będzie spełniał zależność:

$Q_1{P}_2=Q_2{P}_1$  

$Q_1\pi r_2^2=Q_2\frac{x^2}{y^2}\pi r_2^2\mid :\pi r_2^2$  

$Q_1=\frac{x^2}{y^2}{Q}_2$  

Natężenie pola elektrostatycznego obliczamy korzystając z wzoru:

$E=\frac{k\cdot Q}{r^2}$  

gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności, Q jest wartością ładunku źródłowego, r jest odległością ładunku źródłowego od miejsca w którym badamy natężenie pola elektrostatycznego. Zauważmy, że odległość pierwszego wycinka od punktu $A$  możemy z twierdzenia Pitagorasa przedstawić wzorem:

$r_1^2+{\left(\frac{1}{2}x\right)}^2=a^2$  

$r_1^2+\frac{1}{4}{x}^2=a^2\mid -\frac{1}{4}{x}^2$  

$r_1^2=a^2-\frac{1}{4}{x}^2$  

Natomiast dla drugiego otrzymujemy, że:

$r_2^2+{\left(\frac{1}{2}y\right)}^2=b^2$  

$r_2^2+\frac{1}{4}{y}^2=b^2\mid -\frac{1}{4}{y}^2$  

$r_2^2=b^2-\frac{1}{4}{y}^2$  

Wówczas natężenia dla poszczególnych wycinków mają postać:

$E_1=\frac{k{Q}_1}{r_1^2}\text{ oraz }{E}_2=\frac{k{Q}_2}{r_2^2}$  

$\text{Sprawdzamy poprawnosˊcˊ załoz˙enia: }{E}_1-E_2=0$  

$E_1-E_2=\frac{k{Q}_1}{r_1^2}-\frac{k{Q}_2}{r_2^2}$  

$E_1-E_2=\frac{k\frac{x^2}{y^2}{Q}_2}{a^2-\frac{1}{4}{x}^2}-\frac{k{Q}_2}{b^2-\frac{1}{4}{y}^2}$  

$E_1-E_2=\frac{k\frac{x^2}{y^2}{Q}_2}{\frac{1}{4}\left(4a^2-x^2\right)}-\frac{k{Q}_2}{\frac{1}{4}\left(4b^2-y^2\right)}$  

Korzystając z twierdzenia Talesa możemy zauważyć, że:

$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}$  

Czyli $y=\frac{b}{a}x$ .

Z tego wynika, że:

$E_1-E_2=\frac{4k{Q}_2{x}^2}{y^2\left(4a^2-x^2\right)}-\frac{4k{Q}_2}{4b^2-{\left(\frac{b}{a}x\right)}^2}$  

$E_1-E_2=\frac{4k{Q}_2{x}^2}{y^2\left(4a^2-x^2\right)}-\frac{4k{Q}_2}{4b^2-\frac{b^2}{a^2}{x}^2}$  

$E_1-E_2=\frac{4k{Q}_2{x}^2}{y^2\left(4a^2-x^2\right)}-\frac{4k{Q}_2}{\frac{b^2}{a^2}\left(4a^2-x^2\right)}$  

$E_1-E_2=\frac{4k{Q}_2{x}^2}{y^2\left(4a^2-x^2\right)}-\frac{4k{Q}_2{a}^2}{b^2\left(4a^2-x^2\right)}$  

$E_1-E_2=\frac{4k{Q}_2}{4a^2-x^2}\cdot \left(\frac{x^2}{y^2}-\frac{a^2}{b^2}\right)$  

Ponownie korzystając z twierdzenia Talesa możemy zauważyć, że:

$\frac{x}{y}=\frac{a}{b}$  

Oznacza to, że:

$E_1-E_2=\frac{4k{Q}_2}{4a^2-x^2}\cdot \left({\left(\frac{x}{y}\right)}^2-{\left(\frac{a}{b}\right)}^2\right)$  

$E_1-E_2=\frac{4k{Q}_2}{4a^2-x^2}\cdot \left({\left(\frac{a}{b}\right)}^2-{\left(\frac{a}{b}\right)}^2\right)$  

$E_1-E_2=\frac{4k{Q}_2}{4a^2-x^2}\cdot 0$  

$E_1-E_2=0$  

Co należało dowieźć.

Ponieważ punkt $\mathbf{A}$  był wybrany dowolnie, to oznacza że założenie będzie spełnione dla każdego innego punktu wybranego wewnątrz sfery.