Dane:

$M=250\text{g}=0,25\text{kg}$  

$m_L=12\text{g}=0,012\text{kg}$  

$T_1={30}^{\circ }\text{C}=303\text{K}$  

$T_2={12}^{\circ }\text{C}=285\text{K}$     

$T_0=0^{\circ }\text{C}=273\text{K}$   

Szukane:

$n=?$  

Rozwiązanie:

Zadanie zaczynamy od obliczenia ciepła, jakie oddała woda. Woda odda ciepło w wyniku zmiany swojej temperatury od 30°C do 12°C, czyli:

$\Delta T_w=T_1-T_2$  

Z wzoru na ciepło wymienione z otoczeniem możemy zapisać, że ciepło oddane przez wodę wynosi:

$Q_{\text{oddane}}=Mc\Delta T_w$  

gdzie $c=4190\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}$  jest ciepłem właściwym wody, $M$  jest masą wody w szklance, $\Delta T$  jest zmianą temperatury wody.

Wyznaczmy teraz ciepło jakie pobrał lód. Będzie ono sumą ciepła topnienia lodu i ciepła jakie pobierze woda powstała z lodu po roztopieniu:

$Q_{\text{pobrane}}=Q_{\text{topnienia}}+Q$  

Ciepło topnienia obliczymy korzystając z zależności:

$Q_{\text{topnienia}}=m{c}_t$  

gdzie $m$  jest masą stopionego lodu, $c_t=334000\frac{\text{J}}{\text{kg}}$  jest ciepłem topnienia dla lodu.

Woda powstała z lodu zmieni swoją temperaturę podgrzewając się od 0°C do 12°C, czyli o:

$\Delta T=T_2-T_0$  

Wówczas ciepło pobrane przez wodę powstałą z lodu możemy przedstawić wzorem:

$Q=mc\Delta T$  

gdzie $m$  jest masą lodu potrzebnego do ochłodzenia wody.

Wówczas otrzymujemy, że ciepło pobrane przez lód będzie miało postać:

$Q_{\text{pobrane}}=Q_{\text{topnienia}}+Q$  

$Q_{\text{pobrane}}=m{c}_t+mc\Delta T$  

$Q_{\text{pobrane}}=m\left(c_t+c\Delta T\right)$  

Zapisując równanie bilansu cieplnego otrzymujemy, że prawdziwa jest równość:

$Q_{\text{pobrane}}=Q_{\text{oddane}}$  

$m\left(c_t+c\Delta T\right)=Mc\Delta T_w$  

Wówczas masa stopionego lodu wynosi:

$m\left(c_t+c\Delta T\right)=Mc\Delta T_w\mid :\left(c_t+c\Delta T\right)$  

$m=\frac{Mc\Delta T_w}{c_t+c\Delta T}$  

$m=\frac{Mc\left(T_1-T_2\right)}{c_t+c\left(T_2-T_0\right)}$  

Znamy masę lodu potrzebną do ochłodzenia wody oraz znamy masę jednej kostki lodu. Ilość kostek lodu obliczymy ze stosunku masy lodu potrzebnej do ochłodzenia wody do masy jednej kostki lodu:

$n=\frac{m}{m_L}$  

$n=\frac{\frac{Mc\left(T_1-T_2\right)}{c_t+c\left(T_2-T_0\right)}}{m_L}$  

$n=\frac{Mc\left(T_1-T_2\right)}{m_L\left(c_t+c\left(T_2-T_0\right)\right)}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$n=\frac{0,25\text{kg}\cdot 4190\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}\cdot \left(303\text{K}-285\text{K}\right)}{0,012\text{kg}\cdot \left(334000\frac{\text{J}}{\text{kg}}+4190\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}\cdot \left(285\text{K}-273\text{K}\right)\right)}=$  

$=\frac{0,25\text{kg}\cdot 4190\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}\cdot 18\text{K}}{0,012\text{kg}\cdot \left(334000\frac{\text{J}}{\text{kg}}+4190\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}\cdot 12\text{K}\right)}=$  

$=\frac{18855\text{J}}{0,012\text{kg}\cdot \left(334000\frac{\text{J}}{\text{kg}}+50280\frac{\text{J}}{\text{kg}}\right)}=\frac{18855\text{J}}{0,012\text{kg}\cdot 284280\frac{\text{J}}{\text{kg}}}=$  

$=\frac{18855\text{J}}{4611,36\text{J}}\approx 4,0888\approx 4$  

Odpowiedź: Do ochłodzenia wody potrzeba nam około 4 kostek lodu.