Autorzy:Agnieszka Bożek, Katarzyna Nessing, Jadwiga Salach

Wydawnictwo:WSiP

Rok wydania:2016

5 moli jednoatomowego gazu... 4.56 gwiazdek na podstawie 9 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Fizyka

W zadaniu podane mamy, że:

`n=5\ "mol"`  

`T_3= 147^@ C = 420\ K` 

Wiemy, że temperaturę początkową możemy wyznaczyć z zależności:

`T_3=10T_1\ \ \ =>\ \ \ T_1=T_3/10\ \ \ =>\ \ \ T_1 = (420\ K)/10=42\ K` 

W poszczególnych stanach mamy, że:

`"w stanie 1: " T_1 " i " V_1` 

`"w stanie 2: " T_2 = 5T_1 " i " V_2 = 5V_1` 

`"w stanie 3: " T_3 = 10T_1 " i " V_3 = 5V_1` 

`"w stanie 4: " T_4 = 2T_1 " i " V_4 = V_1` 

Wówczas korzystając z równania Clapeyrona wyznaczamy ciśnienie gazu:

`pV=nRT\ \ \ \ \ |:V ` 

`p = (nRT)/V` 

Wówczas dla poszczególnych stanów otrzymujemy:

`"w stanie 1: " p_1 = (nRT_1)/(V_1)` 

`"w stanie 2: " p_2 = (nRT_2)/(V_2) = (nR5T_1)/(5V_1)=(nRT_1)/(V_1) = p_1` 

`"w stanie 3: " p_3 = (nRT_3)/(V_3) = (nR10T_1)/(5V_1)=2(nRT_1)/(V_1) = 2p_1` 

`"w stanie 4: " p_4 = (nRT_4)/(V_4) = (nR2T_1)/(V_1)=2(nRT_1)/(V_1) = 2p_1` 

Wówczas wykresy zależności ciśnienia od objętości oraz ciśnienia od temperatury przyjmą postać:

 

`a)` 

Ciepła pobrane przez gaz w każdym z procesów obliczymy korzystając z wzorów:

`Q_V = nC_V DeltaT` 

`Q_p = nC_p DeltaT` 

gdzie dla naszego przypadku mamy, że:

`C_V = 3/2R` 

Wiemy również, że pomiędzy ciepłem właściwym dla przemiany izochorycznej, a przemiany izobarycznej zachodzi równość:

`C_p - C_V = R\ \ \ =>\ \ \ C_p = C_V+R \ \ \ =>\ \ \ C_p = 3/2R+R=5/2R ` 

Zmiany temperatury obliczymy z zależności:

`DeltaT_1 = T_2-T_1\ \ \ =>\ \ \ DeltaT_1 = 5T_1-T_1=4T_1` 

`DeltaT_2 = T_4 - T_1\ \ \ =>\ \ \ DeltaT_2 = 2T_1-T_1 = T_1 `  

`DeltaT_3 = T_3 -T_2\ \ \ =>\ \ \ DeltaT_3 = 10T_1-5T_1 = 5T_1 ` 

`DeltaT_4 = T_3-T_4\ \ \ =>\ \ \ DeltaT_4 = 10T_1-2T_1 = 8T_1 `  

Teraz obliczmy ciepło dla każdego z przejść:

`"dla 1 " ->" 2 : "Q_1 = nC_pDeltaT_1\ \ \ =>\ \ \ Q_1 = n5/2R4T_1\ \ \ =>\ \ \ Q_1 = 10nRT_1 ` 

`"dla 1 " ->" 4 : "Q_2 = nC_VDeltaT_2\ \ \ =>\ \ \ Q_2 = n 3/2 R T_1\ \ \ =>\ \ \ Q_2 = 3/2nRT_1`  

`"dla 2 " ->" 3 : "Q_3 = nC_VDeltaT_3\ \ \ =>\ \ \ Q_3 = n3/2R5T_1\ \ \ =>\ \ \ Q_3 = 15/2nRT_1`    

`"dla 4 " ->" 3 : "Q_4 = nC_pDeltaT_4\ \ \ =>\ \ \ Q_4 = n5/2R8T_1\ \ \ =>\ \ \ Q_4 = 20nRT_1` 

Całkowita ilość ciepła pobranego w pierwszym sposobie będzie wynosiła:

`Q_"c1" = Q_1+Q_3` 

`Q_"c1" = 10nRT_1+15/2nRT_1 ` 

`Q_"c1"= 35/2nRT_1` 

Całkowita ilość ciepła pobranego w drugim sposobie będzie wynosiła:

`Q_"c2" = Q_2+Q_4` 

`Q_"c2" = 3/2 nRT_1+20nRT_1 ` 

`Q_"c2" = 43/2 nRT_1`      

Podstawiamy dane liczbowe do wzorów:

`Q_"c1"= 35/2*5\ "mol" *8,31\ J/("mol"*K)*42\ K = 30 539,25\ J`  

`Q_"c2"= 43/2 *5\ "mol" * 8,31\ J/("mol"*K)*42\ K = 37 519,65\ J ` 

Wówczas:

`(Q_"c2")/(Q_"c1") = (37 519,65\ J)/(30 539,25\ J)=(37 519 65)/( 30 539 25) = (43*87255)/(35*87255)=43/35` 

 

`b)` 

Korzystamy z I zasady termodynamiki:

`DeltaU = Q+W` 

gdzie ΔU jest energią wewnętrzną, Q jest ciepłem wymienionym przez ciało z otoczeniem, W jest pracą wykonaną nad ciałem przez siłę zewnętrzną. W podpunkcie a) wyznaczyliśmy ciepła pobrane przez gaz w każdym ze sposobów. Obliczmy teraz pracę wykonaną przez ten gaz. Wiemy, że w przemianach izochorycznych praca jest zerowa, dlatego obliczamy pracę w przemianach: 1 -> 2 oraz 3 -> 4. Wówczas otrzymujemy, że:

`W_1 = -p_1 DeltaV_1\ \ \ "oraz"\ \ \ W_2 = -2p_1DeltaV_2` 

gdzie:

`DeltaV_1=V_2-V_1\ \ \ "oraz"\ \ \ DeltaV_2 = V_3-V_4` 

Podstawiamy znane zmienne:

`W_1 = -p_1(V_2 - V_1)\ \ \ =>\ \ \ W_2 = -(nRT_1)/(V_1)*(5V_1-V_1)\ \ \ =>\ \ \ W_2=-4 *(nRT_1)/(V_1)*V_1\ \ \ =>\ \ \ W_1=-4nRT_1`       

`W_2 = -2p_1(V_3 - V_4)\ \ \ =>\ \ \ W_2 = -2*(nRT_1)/(V_1)*(5V_1-V_1)\ \ \ =>\ \ \ W_2=-2*(nRT_1)/(V_1)*4V_1\ \ \ =>\ \ \ W_2=-8nRT_1`   

Podstawiamy dane liczbowe do otrzymanych zależności:

`W_1 =-4*5\ "mol" * 8,31\ J/("mol"*K)*420\ K = - 6980,4\ J ` 

`W_2 = -8*5\ "mol"*8,31\ J/("mol"*K)*420\ K = -13960,8\ J`  

Korzystając z I zasady termodynamiki obliczamy zmiany energii wewnętrznej dla każdego ze sposobów:

`DeltaU_1 = Q_"c1" + W_1\ \ \ "oraz"\ \ \ DeltaU_2 = Q_"c2"+W_2` 

Podstawiamy dane liczbowe do wzorów:

`DeltaU_1 = 30 539,25\ J -69 80,4\ J =23 553,85 \ J`   

`DeltaU_2 =37519,65\ J - 13 960 ,8\ J = 23 558,85\ J` 

Z tego wynika, że:

`DeltaU_1 = DeltaU_2 = 23 558 85\ J ~~ 23 560\ J=23,6\ kJ`