Gaz doskonały, którego ciepło molowe w stałej...- Zadanie Zadanie 8.29: Z fizyką w przyszłość. Zbiór zadań. Zakres rozszerzony. Część 2. Po gimnazjum

Rozwiązanie

W zadaniu podane mamy, że:

$C_{V} = \frac{5}{2} R$

Wiemy, że istanieje zależność:

$C_{p} - C_{V} = R \Rightarrow C_{p} = R + C_{V} \Rightarrow C_{p} = R + \frac{5}{2} R \Rightarrow C_{p} = \frac{7}{2} R$

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

W zadaniu podane mamy, że:

$p_{1} = 1, 0 \cdot 10^{5} P a$

$V_{1} = 1 m^{3}$

$C_{V} = \frac{5}{2} R$

Z wykresu wynika, że:

$dla stanu 1 : p_{2} = 2 p_{1} \Rightarrow p_{2} = 2, 0 \cdot 10^{5} P a oraz V_{2} = 2 V_{1} \Rightarrow V_{2} = 2 m^{3}$

$dla stanu 2 : p_{1} = 1, 0 \cdot 10^{5} P a oraz V_{1} = 1 m^{3}$

$dla stanu A : p_{A} = 2 p_{1} \Rightarrow p_{A} = 2, 0 \cdot 10^{5} P a oraz V_{A} = V_{1} \Rightarrow V_{A} = 1 m^{3}$

$dla stanu B : p_{B} = p_{1} \Rightarrow p_{B} = 1, 0 \cdot 10^{5} P a oraz V_{B} = 2 V_{1} \Rightarrow V_{B} = 2 m^{3}$

Z równania Clapeyrona wyznaczymy temperatury w poszczególnych stanach:

$n R T = p V ∣ : n R$

$T = \frac{p V}{n R}$

Wówczas otrzymujemy:

$dla stanu 1 : T_{2} = \frac{p _{2} V _{2}}{n R} \Rightarrow T_{2} = \frac{2 p _{12} V _{1}}{n R} \Rightarrow T_{2} = 4 \frac{p _{1} V _{1}}{n R} \Rightarrow T_{2} = 4 T_{1}$

$dla stanu 2 : T_{1} = \frac{p _{1} V _{1}}{n R}$

$dla stanu A : T_{A} = \frac{p _{A} V _{A}}{n R} \Rightarrow T_{2} = \frac{2 p _{1} V _{1}}{n R} \Rightarrow T_{2} = 2 \frac{p _{1} V _{1}}{n R} \Rightarrow T_{1} = 2 T_{1}$

$dla stanu B : T_{B} = \frac{p _{B} V _{B}}{n R} \Rightarrow T_{2} = \frac{p _{12} V _{1}}{n R} \Rightarrow T_{2} = 2 \frac{p _{1} V _{1}}{n R} \Rightarrow T_{1} = 2 T_{1}$

Korzystamy z I zasady termodynamiki:

$Δ U = Q + W$

gdzie ΔU jest energią wewnętrzną, Q jest ciepłem wymienionym przez ciało z otoczeniem, W jest pracą wykonaną nad ciałem przez siłę zewnętrzną.

I sposób

$1 \to A$

Pierwsza przemiana jest przemianą izobaryczną. Praca wykonana nad ciałem w tej przemianie będzie miała wartość dodatnią, ponieważ następuje sprężanie gazu:

$W_{1 \to A} = - p_{2} Δ V = - 2 p_{1} (V_{A} - V_{1}) = - 2 p_{1} (V_{1} - 2 V_{1}) = - 2 p_{1} (- V_{1}) = 2 p_{1} V_{1}$