Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$A=10cm=0,1m$  

$T=0,16s$  

$\text{Jesˊli }t=0\text{ to }x=0$  

$\varphi =0$  

 

Zacznijmy od wyznaczenia częstości:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$  

Równanie położenia dla naszego przypadku otrzymamy z ogólnego równania:

$x\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+\varphi \right)$    

gdzie dla naszego przypadku mamy, że:

$x=A\sin \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)$

W zadaniu podane mamy, że energia kinetyczna jest równa energii potencjalnej sprężystości, gdzie:

$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2{E}_{ps}=\frac{1}{2}kx$ $E_k=\frac{1}{2}m{v}^2{E}_{ps}=\frac{1}{2}kx$  

gdzie wiemy, że:

$v=A\omega \cos \left(\omega t\right)$  

$k=m{\omega }^2$  

Wówczas otrzymujemy, że:

$E_k=E_{ps}$  

$\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}k{x}^2\mid \cdot 2$  

$m{v}^2=k{x}^2$   

$m{v}^2=m{\omega }^2{x}^2\mid :m$

$v^2={\omega }^2{x}^2$  

Pierwiastkujemy i zamieniamy stronami:

$\omega x=v$  

$\omega x=A\omega \cos \left(\omega t\right)\mid :\omega$  

$x=A\cos \left(\omega t\right)$  

$x=A\cos \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)$    

Teraz porównajmy ogólny wzór na położenie dla naszego przypadku z wzorem otrzymanym z porównania energi:

$A\sin \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)=A\cos \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)\mid :A\cos \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)$  

$\frac{A\sin \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)}{A\cos \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)}=1$  

$\frac{\sin \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)}{\cos \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)}=1$  

$\mathrm{tg}\left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)=1$  

Z tablic trygonometrycznych wiemy, że:

$\mathrm{tg}\alpha =1\Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{4}$  

Wówczas dla naszego przypadku mamy, że:

$\frac{2\pi }{T}\cdot t=\frac{\pi }{4}\mid :\pi$  

$\frac{2}{T}\cdot t=\frac{1}{4}\mid :\frac{T}{2}$  

$t=\frac{T}{8}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru i otrzymujemy, że czas wynosi:

$t=\frac{0,16s}{8}=0,02s$      

Obliczmy teraz położenie dla otrzymanego czasu. Korzystamy z wzoru:

$x=A\sin \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x=0,1m\cdot \sin \left(\frac{2\pi }{0,16s}\cdot 0,02s\right)=0,1m\cdot \sin \left(0,25\pi \right)=0,1m\cdot \sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=$  

$=0,1m\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,1m\cdot 0,707=0,0707m\approx 0,0707m=7,07cm$