II gimnazjum

Matematyka wokół nas 2

Oznaczamy szukane miary kątów jako:   α, β, γ    Z treści zadania wiemy , że miara pierwszego kąta jest dwa razy większa od miary drugiego kąta. Jeżeli miarę drugiego kąta pomnożymy przez 2, to otrzymamy miarę pierwszego kąta, stąd: α=2β    Miara trzeciego kąta jest średnią arytmetyczną miar pierwszego i drugiego kąta, czyli:   γ=2α+β​=22β<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='0.548em' viewBox='0 0 400000 548' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M6 548l-6-6v-35l6-11c56-104 135.3-181.3 238-232 57.3-28.7 117
-45 179-50h399577v120H403c-43.3 7-81 15-113 26-100.7 33-179.7 91-237 174-2.7
 5-6 9-10 13-.7 1-7.3 1-20 1H6z'/></svg><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='0.548em' viewBox='0 0 400000 548' preserveAspectRatio='xMidYMin slice'><path d='M200428 334
c-100.7-8.3-195.3-44-280-108-55.3-42-101.7-93-139-153l-9-14c-2.7 4-5.7 8.7-9 14
-53.3 86.7-123.7 153-211 199-66.7 36-137.3 56.3-212 62H0V214h199568c178.3-11.7
 311.7-78.3 403-201 6-8 9.7-12 11-12 .7-.7 6.7-1 18-1s17.3.3 18 1c1.3 0 5 4 11
 12 44.7 59.3 101.3 106.3 170 141s145.3 54.3 229 60h199572v120z'/></svg><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='0.548em' viewBox='0 0 400000 548' preserveAspectRatio='xMaxYMin slice'><path d='M400000 542l
-6 6h-17c-12.7 0-19.3-.3-20-1-4-4-7.3-8.3-10-13-35.3-51.3-80.8-93.8-136.5-127.5
s-117.2-55.8-184.5-66.5c-.7 0-2-.3-4-1-18.7-2.7-76-4.3-172-5H0V214h399571l6 1
c124.7 8 235 61.7 331 161 31.3 33.3 59.7 72.7 85 118l7 13v35z'/></svg>​α​+β​=23β​=23​β

Rozwiązanie 1

Przypomnijmy: Środek okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym leży wewnątrz okręgu. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środkiem przeciwprostokątnej. Środek okręgu opisanego na trójkącie rozwartokątnym leży na zewnątrz trójkąta.   <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/48186/wFSuyxib3Kw%2BhND4IRLSPg%3D%3D_fd09c70c5631e7546825ab704c1c700d79b1d854daddfee230eb1e5c4ec06fc0.jpg" width="345" height="323"> Jeżeli środek okręgu opisanego na trójkącie ABC leży na boku AC, to bok AC jest przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym ABC. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Miarę kąta środkowego BOC oznaczamy jako α. Kąt prosty znajduje się przy wierzchołku B. Kąty AOB oraz BOC są kątami przyległymi, więc: α+42o=180o   α=138o                    ​​

Do rozwiązania zadania nie jest potrzebny rysunek. Należy zwrócić uwagę na to ,

Przez punkt D należy poprowadzić prostą

Oznaczmy wysokość trójkąta równobocnzego jako H. Promień R okręgu opisanego na trójkącie równobocznym ma długość równą 2/3H. R=32​H   Aby obliczyć, o ile promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest kótszy od jego wysokości, musimy od wysokości trójkąta równobocznego odjąć długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie, czyli: H−R=H−32​H=31​H