II gimnazjum

Matematyka wokół nas 2

V=31​⋅Pp​⋅h=311​⋅124⋅8⋅20=

Rozwiązanie 1

V=31​⋅Pp​⋅h   272=31​⋅68⋅h   ∣:68

Na pole powierzchni bocznej ostrosłupa składają się 4 jednakowe trójkąty równoramienne.  Policzmy, jakie pole ma jeden taki trójkąt (czyli jedna ściana boczna) 260 cm2:4=4260​ cm2=2130​ cm=65 cm2   Znamy pole jednej ściany bocznej, ta ściana ma podstawę długości 10 cm, policzmy więc wysokość ściany bocznej:  21​⋅10⋅h=65

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/25317/gtKYsKrlCxujsJta1NTkcA%3D%3D_a2286015eba526386fcf93d32403f7a699dd5e5ed3fd1c484d39239294fbca31.jpg" width="573" height="286"> Romb ma wszystkie boki roˊwnej długosˊci, czyli:   ∣AB∣=∣BC∣=∣CD∣=∣DA∣     Przypomnijmy sobie, jakie długosˊci bokoˊw ma troˊjkąt o kątach 90o,60o,30o:

a) Narysujmy ten ostrosłup.  <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/31302/jf0MAPPY8OUrovQsae2PMA%3D%3D_b6cc4a17d05aa3994330015e020383d532630f15a4a1fb3572b1119d44deffc9.jpg" width="285" height="276"> Odcinek x to połowa długości przekątnej podstawy.  Przekątną prostokąta o bokach 6 i 8 możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Oznaczmy długość tej przekątnej przez d . 82+62=d2 64+36=d2 100=d2 d=100<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=10

Oznaczmy krawędź podstawy i wysokość ściany bocznej przez x.  Podstawa ostrosłupa prawidłowego czworokątnego to kwadrat o boku x, a na pole boczne składają się 4 jednakowe ściany, będące trójkątami równoramiennymi o podstawie x i wysokości x.    Pp​=x⋅x=x2   Pb​=42⋅221​⋅x⋅x=2x2   Pc​=Pp​+Pb​=x2+2x2=3x2     3x2=48 cm2   ∣:3