II gimnazjum

Matematyka wokół nas 2

Rozwiązanie 1

Na pole powierzchni bocznej składa się pole 4 jednakowych trójkątów równobocznych.  Wysokość w tym trójkącie wynosi 6√3 cm. Obliczmy długość boku tego trójkąta korzystając ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym. h=2a3<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​   gdzie a- długość boku trójkąta Podstawmy dane do wzoru: 63<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=2a3<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​       ∣⋅2

Pp​=a⋅a=a2   Narysujmy ścianę boczną:  <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/31256/05unedRpPbyOQ/C8YGqT9A%3D%3D_ea214981f1b2da1380dce077e94e3a4a7190a28a70005c32af499f35ff1c4fca.jpg" width="419" height="375"> Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyrazimy h za pomocą a:  (2a​)2+h2=(23​a)2 4a2​+h2=49​a2   ∣−4a2​

Oznaczmy: - x - długość krawędzi bocznej ostrosłupa - d - długość przekątnej podstawy ostrosłupa - a - długość krawędzi podstawy ostrosłupa <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/31295/DaF2T77SeADMrDns3EcEgQ%3D%3D_ac21f654904b08fd1a7ec27790a185f9ac4728a6705bb07d94b36725a0faa4f8.jpg">   Znamy pole przekroju zaznaczonego na zielono, możemy więc zapisać:  21​⋅x⋅x=18 cm2   ∣⋅2   x⋅x=36 cm2   x=6 cm     Teraz z twierdzenia Pitagorasa dla zamalowanego na zielono trójkąta możemy policzyć długość przekątnej podstawy d x2+x2=d2

7

Odpowiedź: