Matematyka

Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego przedstawionego na rysunku 4.67 gwiazdek na podstawie 9 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego przedstawionego na rysunku

7
 Zadanie
8
 Zadanie
9
 Zadanie

10
 Zadanie

11
 Zadanie
12
 Zadanie

`a)` 

`|AB|=24\ cm` 

 

 

Czworokąt ABCD do kwadrat (bo ostrosłup jest prawidłowy czworokątny). Odcinek AC to przekątna kwadratu. Możemy obliczyć jej długość korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC:

`24^2+24^2=|AC|^2` 

`24^2*2=|AC|^2` 

`|AC|=sqrt(24^2*2)=sqrt(24^2)*sqrt2=24sqrt2\ cm` 

(Jeśli pamiętasz wzór na długość przekątnej kwadratu d=a√2, to mogłeś od razu napisać, jaką długość ma ta przekątna) 

 

`|AO|=|OC|=1/2*|AC|=1/2*24sqrt2\ cm=12sqrt2\ cm` 

 

Trójkąt AOS jest trójkątem prostokątnym równoramiennym (ponieważ ma kąty 90°, 45°, 45°)
Zatem odcinki AO i OS są równe, długość odcinka AS możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

`(12sqrt2)^2+(12sqrt2)^2=|AS|^2` 

`12*12*2+12*12*2=|AS|^2`  

`12*12*2*2=|AS|^2` 

`|AS|=sqrt(12*12*2*2)=12*2=24\ cm` 

 

Znamy już długość krawędzi bocznej oraz krawędzi podstawy tego ostrosłupa, więc możemy policzyć wysokość ściany bocznej (z twierdzenia Pitagorasa)

`12^2+h^2=24^2` 

`h^2=24^2-12^2` 

`h^2=(24-12)*(24+12)` 

`h^2=12*36` 

`h=sqrt(12*36)=sqrt(4*3*36)=sqrt4*sqrt36*sqrt3=12sqrt3\ cm` 

 

Obliczamy pole powierzchni bocznej (4 pola trójkątów równoramiennych)

`P_b=strike4^2*1/strike2^1*24\ cm*12sqrt3\ cm=` `576sqrt3\ cm^2` 

 

`P_p=24\ cm*24\ cm=576\ cm^2` 

 

`P_c=576sqrt3\ cm^2+576\ cm^2=576(sqrt3+1)\ cm^2` 

 

 

 

`b)` 

`|AE|=6\ cm`     

 

Trójkąt ABC jest trójkątem równobocznym (ponieważ ostrosłup jest prawidłowy trójkątny). Punkt O to punkt przecięcia wysokości trójkąta ABC, dzieli on każdą z wysokości w stosunku 1:2. Odcinek AE jest wysokością, dwie pozostałe wysokości także mają długość 6 cm. 

Możemy zatem zapisać: 

`|DO|=1/3*6\ cm=2\ cm` 

`|OB|=2/3*6\ cm=4\ cm` 

 

Trójkąt DOS to trójkąt o kątach 90°, 60°, 30°. W takim trójkącie długości boków można wyrazić za pomocą wzorów, co obrazuje poniższy rysunek:

Zastosujmy te wzory do trójkąta DOS

`|DO|=x=2\ cm` 

`|DS|=2x=2*2\ cm=4\ cm` 

`|OS|=xsqrt3=2sqrt3\ cm` 

 

 

Teraz, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta OBS, możemy policzyć długość krawędzi bocznej BS: 

`|OS|^2+|OB|^2=|BS|^2` 

`(2sqrt3)^2+4^2=|BS|^2` 

`4*3+16=|BS|^2` 

`12+16=|BS|^2` 

`|BS|=sqrt28=sqrt(4*7)=2sqrt7\ cm` 

 

Dalej będziemy chcieli policzyć wysokość ściany bocznej (także z twierdzenia Pitagorasa), jednak wcześniej potrzebna nam jest długość krawędzi podstawy. 

Znamy wzór na wysokość trójkąta równobocznego o boku a, wiemy też, jaką długość ma ta wysokość u nas w zadaniu, możemy więc zapisać: 

`(asqrt3)/2=6\ \ \ |*2` 

`asqrt3=12\ \ \ |:sqrt3` 

`a=12/sqrt3=(12sqrt3)/3=4sqrt3\ cm` 

 

Teraz narysujmy ścianę boczną i zapiszmy znane wymiary:  

 

`(2sqrt3)^2+h^2=(2sqrt7)^2` 

`2*2*3+h^2=2*2*7` 

`12+h^2=28\ \ \ |-12` 

`h^2=16` 

`h=sqrt16=4\ cm` 

 

Obliczamy pole boczne (pola 3 jednakowych trójkątów równoramiennych)

`P_b=3*1/strike2^2*strike4^2\ cm*4sqrt3\ cm=` `24sqrt3\ cm^2` 

 

`P_p=(a^2sqrt3)/4=((4sqrt3)^2sqrt3)/4=` `(strike4^1*4*3sqrt3)/strike4^1=` `12sqrt3\ cm^2` 

 

 

`P_c=24sqrt3\ cm^2+12sqrt3\ cm^2=36sqrt3\ cm^2` 

DYSKUSJA
user profile image
Gość

0

2017-10-13
Dziękuję!!!!
Informacje
Matematyka wokół nas 2
Autorzy: A. Drążek, E.Duvnjak, Ewa Kokiernak-Jurkiewicz
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Dzielenie pisemne
  1. Zapisujemy dzielną, nad nią kreskę, a obok, po znaku dzielenia, dzielnik. W naszym przykładzie podzielimy liczbę 1834 przez 14, inaczej mówiąc zbadamy ile razy liczba 14 „mieści się” w liczbie 1834.

    dzielenie1
     
  2. Dzielimy pierwszą cyfrę dzielnej przez dzielnik. Jeśli liczba ta jest mniejsza od dzielnika, to bierzemy pierwsze dwie lub więcej cyfr dzielnej i dzielimy przez dzielnik. Inaczej mówiąc, w dzielnej wyznaczamy taką liczbę, którą można podzielić przez dzielnik. Wynik dzielenia zapisujemy nad kreską, a resztę z dzielenia zapisujemy pod spodem (pod dzielną).

    W naszym przykładzie w dzielnej bierzemy liczbę 18 i dzielimy ją przez 14, czyli sprawdzamy ile razy 14 zmieści się w 18. Liczba 14 zmieści się w 18 jeden raz, jedynkę piszemy nad kreską (nad ostatnią cyfrą liczby 18, czyli nad 8). Następnie wykonujemy mnożenie 1•14=14 i wynik 14 wpisujemy pod liczbą 18, oddzielamy kreską i wykonujemy odejmowanie 18-14=4 i wynik 4 zapisujemy pod kreską.
    Opisane postępowanie możemy zapisać następująco: 18÷14=1 reszty 4.

    dzielenie2
     
  3. Do wyniku odejmowania opisanego w punkcie 2, czyli do otrzymanej reszty z dzielenia dopisujemy kolejną cyfrę dzielnej i wykonujemy dzielenie przez dzielnik. Tak jak poprzednio wynik zapisujemy nad kreską, a pod spodem resztę z tego dzielenia.
    W naszym przykładzie wygląda to następująco: do 4 dopisujemy cyfrę 3 (czyli kolejną cyfrę, która znajduje się za liczbą 18) i otrzymujemy liczbę 43, którą dzielimy przez dzielnik 14. Inaczej mówiąc sprawdzamy ile razy 14 zmieści się w 43. Liczba 14 zmieści się w 43 trzy razy, czyli 3 piszemy nad kreską (za 1), a następnie wykonujemy mnożenie 3•14=42i wynik 42 zapisujemy pod liczbą 43, oddzielamy kreską i wykonujemy odejmowanie 43-42=1 i wynik 1 zapisujemy pod kreską.
    Opisane postępowanie możemy zapisać: 43÷14=3 reszty 1.

    dzielenie2
     
  4. Analogicznie jak poprzednio do otrzymanej reszty dopisujemy kolejną cyfrę dzielnej i wykonujemy dzielenie przez dzielnik.
    W naszym przykładzie:
    do 1 dopisujemy ostatnią cyfrę dzielnej, czyli 4. Otrzymujemy liczbę 14, którą dzielimy przez dzielnik 14, w wyniku otrzymujemy 1 i wpisujemy ją nad kreską (po3). Następnie wykonujemy mnożenie 1•14=14 w wynik 14 zapisujemy pod 14, oddzielamy kreską i wykonujemy odejmowanie 14-14=0.
    Opisane postępowanie możemy zapisać 14÷14=1, czyli otrzymaliśmy dzielenie bez reszty, co kończy nasze dzielenie.

    dzielenie3
     
  5. Wynik dzielenia liczby 1834 przez 14 znajduje się nad kreską, czyli otrzymujemy ostatecznie iloraz 1834÷14=131.

Dzielenie z resztą

Na początek zapoznajmy się z twierdzeniem o dzieleniu z resztą, które brzmi następująco:
"Dla pary liczb całkowitych a i b (gdzie b ≠ 0) istnieją liczby całkowite q i r, dla których spełnione jest równanie a = qb + r, gdzie 0 ≤ r < │b│. Liczby q i r nazywa się odpowiednio ilorazem i resztą z dzielenia a przez b."

Innymi słowy, dzielenie z resztą to takie dzielenie, w którym iloraz nie jest liczbą całkowitą.

Przykład obliczania reszty z dzielenia:

  1. Podzielmy liczbę 23 przez 3.
  2. Wynikiem dzielenia nie jest liczba całkowita (nie dzieli się równo). Maksymalna liczba trójek, które zmieszczą się w 23 to 7.
  3. $$7 • 3 = 21$$
  4. Różnica między liczbami 23 i 21 wynosi 2, zatem resztą z tego dzielenia jest liczba 2.
  5. Poprawny zapis działania: $$21÷3=7$$ $$r.2$$

Przykłady:

  • $$5÷2=2$$ r. 1
  • $$27÷9=3$$ r. 0
  • $$(-8)÷(-3)=3 r. 1$$
  • $$(-15)÷4=-3$$ .r -3 lub $$(-15)÷4=-4$$ r. 1

  Zapamiętaj

Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.

Zobacz także
Udostępnij zadanie