Matematyka

Autorzy:A. Drążek, E.Duvnjak, Ewa Kokiernak-Jurkiewicz

Wydawnictwo:WSiP

Rok wydania:2016

Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego przedstawionego na rysunku 4.63 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego przedstawionego na rysunku

7
 Zadanie
8
 Zadanie
9
 Zadanie

10
 Zadanie

11
 Zadanie
12
 Zadanie

`a)` 

`|AB|=24\ cm` 

 

 

Czworokąt ABCD do kwadrat (bo ostrosłup jest prawidłowy czworokątny). Odcinek AC to przekątna kwadratu. Możemy obliczyć jej długość korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC:

`24^2+24^2=|AC|^2` 

`24^2*2=|AC|^2` 

`|AC|=sqrt(24^2*2)=sqrt(24^2)*sqrt2=24sqrt2\ cm` 

(Jeśli pamiętasz wzór na długość przekątnej kwadratu d=a√2, to mogłeś od razu napisać, jaką długość ma ta przekątna) 

 

`|AO|=|OC|=1/2*|AC|=1/2*24sqrt2\ cm=12sqrt2\ cm` 

 

Trójkąt AOS jest trójkątem prostokątnym równoramiennym (ponieważ ma kąty 90°, 45°, 45°)
Zatem odcinki AO i OS są równe, długość odcinka AS możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

`(12sqrt2)^2+(12sqrt2)^2=|AS|^2` 

`12*12*2+12*12*2=|AS|^2`  

`12*12*2*2=|AS|^2` 

`|AS|=sqrt(12*12*2*2)=12*2=24\ cm` 

 

Znamy już długość krawędzi bocznej oraz krawędzi podstawy tego ostrosłupa, więc możemy policzyć wysokość ściany bocznej (z twierdzenia Pitagorasa)

`12^2+h^2=24^2` 

`h^2=24^2-12^2` 

`h^2=(24-12)*(24+12)` 

`h^2=12*36` 

`h=sqrt(12*36)=sqrt(4*3*36)=sqrt4*sqrt36*sqrt3=12sqrt3\ cm` 

 

Obliczamy pole powierzchni bocznej (4 pola trójkątów równoramiennych)

`P_b=strike4^2*1/strike2^1*24\ cm*12sqrt3\ cm=` `576sqrt3\ cm^2` 

 

`P_p=24\ cm*24\ cm=576\ cm^2` 

 

`P_c=576sqrt3\ cm^2+576\ cm^2=576(sqrt3+1)\ cm^2` 

 

 

 

`b)` 

`|AE|=6\ cm`     

 

Trójkąt ABC jest trójkątem równobocznym (ponieważ ostrosłup jest prawidłowy trójkątny). Punkt O to punkt przecięcia wysokości trójkąta ABC, dzieli on każdą z wysokości w stosunku 1:2. Odcinek AE jest wysokością, dwie pozostałe wysokości także mają długość 6 cm. 

Możemy zatem zapisać: 

`|DO|=1/3*6\ cm=2\ cm` 

`|OB|=2/3*6\ cm=4\ cm` 

 

Trójkąt DOS to trójkąt o kątach 90°, 60°, 30°. W takim trójkącie długości boków można wyrazić za pomocą wzorów, co obrazuje poniższy rysunek:

Zastosujmy te wzory do trójkąta DOS

`|DO|=x=2\ cm` 

`|DS|=2x=2*2\ cm=4\ cm` 

`|OS|=xsqrt3=2sqrt3\ cm` 

 

 

Teraz, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta OBS, możemy policzyć długość krawędzi bocznej BS: 

`|OS|^2+|OB|^2=|BS|^2` 

`(2sqrt3)^2+4^2=|BS|^2` 

`4*3+16=|BS|^2` 

`12+16=|BS|^2` 

`|BS|=sqrt28=sqrt(4*7)=2sqrt7\ cm` 

 

Dalej będziemy chcieli policzyć wysokość ściany bocznej (także z twierdzenia Pitagorasa), jednak wcześniej potrzebna nam jest długość krawędzi podstawy. 

Znamy wzór na wysokość trójkąta równobocznego o boku a, wiemy też, jaką długość ma ta wysokość u nas w zadaniu, możemy więc zapisać: 

`(asqrt3)/2=6\ \ \ |*2` 

`asqrt3=12\ \ \ |:sqrt3` 

`a=12/sqrt3=(12sqrt3)/3=4sqrt3\ cm` 

 

Teraz narysujmy ścianę boczną i zapiszmy znane wymiary:  

 

`(2sqrt3)^2+h^2=(2sqrt7)^2` 

`2*2*3+h^2=2*2*7` 

`12+h^2=28\ \ \ |-12` 

`h^2=16` 

`h=sqrt16=4\ cm` 

 

Obliczamy pole boczne (pola 3 jednakowych trójkątów równoramiennych)

`P_b=3*1/strike2^2*strike4^2\ cm*4sqrt3\ cm=` `24sqrt3\ cm^2` 

 

`P_p=(a^2sqrt3)/4=((4sqrt3)^2sqrt3)/4=` `(strike4^1*4*3sqrt3)/strike4^1=` `12sqrt3\ cm^2` 

 

 

`P_c=24sqrt3\ cm^2+12sqrt3\ cm^2=36sqrt3\ cm^2`