Matematyka

Autorzy:A. Drążek, E.Duvnjak, Ewa Kokiernak-Jurkiewicz

Wydawnictwo:WSiP

Rok wydania:2016

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`a)` 

Przypomnijmy sobie, jakie długości boków ma trójkąt o kątach 90°, 60°, 30°. 

 

U nas zachodzi następująca równość: 

`2x=4sqrt2` 

`|DB|=x=4sqrt2:2=2sqrt2` 

`|DD'|=xsqrt3=2sqrt2*sqrt2=2sqrt6` 

 

Graniastosłup jest prawidłowy czworokątny, co oznacza, że jego podstawą jest kwadrat. 

Zatem odcinek DB to przekątna kwadratu. Oznaczmy długość krawędzi podstawy przez a, wtedy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADB możemy zapisać: 

`a^2+a^2=(2sqrt2)^2` 

`2a^2=4*2\ \ \ |:2` 

`a^2=4` 

`a=2` 

 

Zatem krawędź podstawy ma długość 2, a krawędź boczna ma długość 2√6. Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma 8 krawędzi podstawy i 4 krawędzie boczne, więc suma długości jego krawędzi wynosi:

`8*2+4*2sqrt6=16+8sqrt6=8(2+sqrt6)` 

 

 

 

`b)` 

Trójkąt A'AC to trójkąt prostokątny równoramienny, odcinki AA' i AC są równe, oznaczmy ich długość x. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta A'AC możemy zapisać:

`x^2+x^2=12^2` 

`2x^2=144\ \ \ |:2` 

`x^2=72` 

`x=sqrt72=sqrt(9*8)=sqrt(9*4*2)=sqrt9*sqrt4*sqrt2=3*2*sqrt2=6sqrt2\ cm`  

 

Graniastosłup jest prawidłowy czworokątny, więc jego podstawą jest kwadrat. Oznacza to, że czworokąty ABCD oraz A'B'C'D' są kwadratami (na rysunku wyglądają jak prostokąty, ale wiemy z treści zadania, że są to kwadraty). Zatem odcinki AB i BC są równe, oznaczmy ich długość przez y. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC możemy zapisać:

`|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2` 

`y^2+y^2=(6sqrt2)^2` 

`2y^2=6*6*2\ \ \ |:2` 

`y^2=6*6` 

`y=6 \ cm` 

 

Wiemy już zatem, że krawędź podstawy tego graniastosłupa ma 6 cm, a krawędź boczna ma 6√2 cm. Policzmy teraz syme długoścci wszystkich krawędzi tego graniastosłupa:

`8*6\ cm+4*6sqrt2\ cm=` `4*6(2+sqrt2)\ cm=24(2+sqrt2)\ cm`