a) Mamy ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy $a=8$ . Trzeba policzyć wysokość ostrosłupa, którą oznaczymy jako H.

Na rysunku zaznaczono trójkąt prostokątny o kątach ostrych 30 i 60 stopni, w którym jedną przyprostokątną jest wysokość H (naprzeci kąta 60 stopni), a druga przyprostokątna ma długość równą połowie krawędzi podstawy czyli $\frac{1}{2}\cdot a=\frac{1}{2}\cdot 8=4.$

 Z własności trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 30 i 60 stopni mamy

$H=4\sqrt{3}$

Liczymy objętość ostrosłupa

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot H$

$V=\frac{1}{3}\cdot 8^2\cdot 4\sqrt{3}=\frac{256}{3}\sqrt{3}$

b) Mamy ostrosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy a=6 . Trzeba policzyć wysokość ostrosłupa, którą oznaczymy jako H.

Wysokość ostrosłupa jest nachylona do krawędzi bocznej pod kątem 45 stopni. Zatem krawędź boczna jest przeciprostokątną trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 45 i 45 stopni, w którym jedna przyprostokątna ma długość H, a druga przyprostokątna ma długość równą połowie dłuższej przekątnej sześciokąta foremnego o boku a=6, czyli $\frac{1}{2}\cdot 2a=a=6.$

Trójkąt prostokątny jest trójkątem równoramiennym, zatem $H=6.$