Matematyka

Autorzy:M. Braun, J. Lech

Wydawnictwo:GWO

Rok wydania:2008

Podstawami narysysowanych ostrosłupów są wielokąty foremne. 4.6 gwiazdek na podstawie 10 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Podstawami narysysowanych ostrosłupów są wielokąty foremne.

28
 Zadanie

29
 Zadanie
30
 Zadanie
31
 Zadanie
32
 Zadanie
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*

a) W podstawie ostrosłupa mamy kwadrat o boku długości 3. Zatem suma krawędzi podstawy ostrosłupa wynosi `4*3=12.`

Jedna z krawędzi bocznych ostrosłupa ma długość 4. Dwie inne krawędzie boczne mają długość równą przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 i 4. Zatem z tw. Pitagorasa mamy

`x^2=3^2+4^2=9+16=25`

`x=5`

Ostatnia, czwarta krawędź boczna jest przeciprostokątną trójkąta prostokątnego o jednej przyprostokątnej długości 4 i drugiej przyprostokątnej, która jest przekątną kwadratu o boku długości 3 , zatem ma mierę `3sqrt2.` Liczymy długość krawędzi bocznej ostrosłupa korzystając z tw. Pitagorasa

`y^2=4^2+(3sqrt2)^2`

`y^2=16+18=34`

`y=sqrt34`

Suma krawędzi bocznych ostrosłupa wynosi `4+2*5+sqrt34=14+sqrt34` .

Suma wszystkich krawędzi ostrosłupa to suma krawędzi podstawy oraz krawędzi bocznych

`12+14+sqrt34=26+sqrt34`

b) W podstawie ostrosłupa mamy kwadrat o boku długości `a` . Policzymy długość `a`  korzystając z tw. Pitagorasa, ponieważ jedna ze ścian bocznych ostrosłupa jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej 10 i przyprostokątnych 6 i `a` .

`10^2=a^2+6^2`

`100=a^2+36`

`a^2=64`

`a=8`

Zatem suma krawędzi podstawy ostrosłupa wynosi `4*8=32.`

Jedna z krawędzi bocznych ostrosłupa ma długość 6. Druga krawędź boczna na długość 10.

Trzecia krawędź boczna ma długość równą przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 6 i 8. Zatem z tw. Pitagorasa mamy

`x^2=6^2+8^2=36+64=100`

`x=10`

Ostatnia, czwarta krawędź boczna jest przeciprostokątną trójkąta prostokątnego o jednej przyprostokątnej długości 6 i drugiej przyprostokątnej, która jest przekątną kwadratu o boku długości 8 , zatem ma mierę `8sqrt2.` Liczymy długość krawędzi bocznej ostrosłupa korzystając z tw. Pitagorasa

`y^2=6^2+(8sqrt2)^2`

`y^2=36+128=164`

`y=sqrt164=sqrt(4*41)=2sqrt41`

Suma krawędzi bocznych ostrosłupa wynosi `6+10+10+2sqrt41=26+2sqrt41` .

Suma wszystkich krawędzi ostrosłupa to suma krawędzi podstawy oraz krawędzi bocznych

`32+26+2sqrt41=58+2sqrt41`

c) W podstawie ostrosłupa mamy sześciokąt foremny o boku długości `a` . Policzymy długość `a`  korzystając z tw. Pitagorasa, ponieważ jedna z krawędzi bocznych ostrosłupa ma długość 5 ,a  druga krawędź boczna ma długosć 13. Wyznaczają one trójkąt  prostokątny o przeciwprostokątnej 13 i przyprostokątnych 5 i  `2a`  (dłuższa przekątna sześciokąta foremnego o boku długości `a` ). Zatem z tw. Pitagorasa mamy

`13^2=5^2+(2a)^2`

`169=25+4a^2`

`4a^2=144`

`a^2=36`

`a=6`

Suma krawędzi podstawy ostrosłupa wynosi `6*6=36`

Dwie krawędzie boczne ostrosłupa mają długość 5 i 13.

Dwie inne krawędzie boczne mają długość równą przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 5 i a=6. Zatem z tw. Pitagorasa mamy

`x^2=5^2+6^2=25+36=61`

`x=sqrt61`

Dwie pozostałe  krawędzie boczne ostrosłupa są przeciprostokątnymi trójkąta prostokątnego o jednej przyprostokątnej długości 5 i drugiej przyprostokątnej, która jest krótszą przekątną sześciokąta foremnego o boku długości 6 , zatem ma mierę `6sqrt3.` Liczymy długość krawędzi bocznej ostrosłupa korzystając z tw. Pitagorasa

`y^2=5^2+(6sqrt3)^2`

`y^2=25+108=133`

`y=sqrt133`

Suma krawędzi bocznych ostrosłupa wynosi `5+13+2sqrt61+2sqrt133=18+2sqrt61+2sqrt133` .

Suma wszystkich krawędzi ostrosłupa to suma krawędzi podstawy oraz krawędzi bocznych

`36+18+2sqrt61+2sqrt133=54+2sqrt61+2sqrt133`