Objętość sześcianu o krawędzi długości $a$   wynosi $a^3.$

Objętość sześcianu jest dwa razy większa od objętości graniastosłupa czworokątnego, zatem objętość graniastosłupa wynosi

$V=\frac{1}{2}{a}^3$

Skoro wszystkie krawędzie graniastosłupa mają długosć $a,$   zatem również krawędź boczna będąca wysokością graniastołupa ma długość $a.$

Mamy zatem

$V=P_p\cdot H$

$\frac{1}{2}{a}^3=P_p\cdot a$

$P_p=\frac{1}{2}{a}^2$

Zatem w podstawie graniastosłupa jest czworokąt o polu powierzchni $\frac{1}{2}{a}^2.$

Policzmy pola powierzchni poszczególnych czworokątów przedstawionych na rysunkach.

A. W podstawie graniastosłupa jest romb (który jest równoległobokiem) o boku długości $a$ i wysokości długości $\frac{a}{2}.$

$P_p=a\cdot \frac{a}{2}=\frac{1}{2}{a}^2$

B. W podstawie graniastosłupa jest romb o przekątnych długości $\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

$P_p=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{8}$

C. W podstawie graniastosłupa jest romb (który jest równoległobokiem) o boku długości $a$ i wysokości długości $\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

$P_p=a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2$

D. W podstawie graniastosłupa jest romb o przekątnych długości $\frac{a}{3},\frac{2}{3}a\sqrt{2}.$

$P_p=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{3}\cdot \frac{2}{3}a\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{9}{a}^2$

Prawidłowa jest odpowiedź A.

Odpowiedź:

A