II gimnazjum

Matematyka z plusem 2

a)
<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/22488/X4fgEJrF9fMm1etP4gc9Yw%3D%3D_51512ab34ce88ca0bc97486280e601abe0318c4e9197b18d81f54d1272bd7426.jpg" width="583" height="471"> 
 
b)
<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/22489/UilvOqjkLNCFRh37rA2dOA%3D%3D_3b7e760769fe401a580d4590b443d1ab1072a4f9b83f4ff3ef9ca3573d31afa3.jpg" width="640" height="459">
 
c)
<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/22490/edTzGUKu4RJ8J45OZqgi2w%3D%3D_ec61edb845262187bb92845ea4194f6efd92f82ce71bf4e032eb29b738075702.jpg" width="640" height="438">

Rozwiązanie 1

Wiemy, iż wszystkie krawędzie graniastosłupa prawidłowego mają równe długości, a ich suma wynosi 72 cm. Zatem dla graniastosłupa, w którego podstawie jest wielokąt foremny o n wierzchołkach mamy 72cm=3n⋅x gdzie x jest długością pojedyńczej krawędzi (wszystkie krawędzie są równej długości). a) Policzmy długość krawędzi graniastosłupa prawidłowego czworokątnego 72=3⋅4⋅x 72=12x x=6cm Liczymy pole powierzchni graniastosłupa P=2⋅Pp​+Pb​ Liczymy pole podstawy graniastupa. W podstawie jest kwadrat o boku 6 cm. Pp​=62=36cm2

a) W podstawie graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny o bokach 5 cm, 12 cm, 13 cm. Wysokość graniastosłupa wynosi 10 cm. Ściany boczne tego graniastosłupa to trzy prostokąty o wymiarach  5cmx10cm, 12cmx10cm, 13cmx10cm. Liczymy pole powierzchni graniastosłupa P=2⋅Pp​+Pb​ W podstawie mamy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 5 cm i 12 cm, zatem Pp​=21​⋅5⋅12=30cm2 Teraz liczymy pole boczne jako sumę pól ścian bocznych graniastosłupa Pb​=5⋅10+12⋅10+13⋅10=50+120+130=300cm2 P=2⋅Pp​+Pb​=2⋅30+300=360cm2

Skoro ściana boczna graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest prostokątem o wymiarach 6cmx8cm, zatem wysokość graniastosłupa może wynosić 8 cm lub 6 cm (ten drugi wymiar wówczas jest długością krawędzi podstawy). Rozważmy najpierw przypadek, gdy wysokość graniastosłupa wynosi 8 cm, a długość krawędzi podstawy wynosi 6cm. W podstawie jest trójkąt równoboczny (graniastosłup prawidłowy trójkątny) o boku a=6cm . Zatem Pp​=4a23<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​=4623<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​=4363<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​=93<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​cm2

Wiemy, że Pp​=Pb​ oraz krawędź podstawy a=2cm

Liczymy objętość prostopadłościanu korzystając ze wzoru V=a⋅b⋅c , gdzie a, b, c to długości krawędzi prostopadłościanu. Należy pamiętać, aby wszystkie wymiary prostopadłościanu miały te same jednostki. a) a=4cm,b=20cm,c=1m=100cm

Kartka papieru ma kształt prostopadłościanu o wymiarach a=235mm,b=165mm,c=566​mm