II gimnazjum

Matematyka z plusem 2

Przeliczamy długości boków prostokąta tak, aby ich długości były wyrażone w tych samych jednostkach. Długość przekątnej prostokąta liczmy z tw. Pitagorosa (będzie to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o podanych bokach). a) a=2dm=20cm , b=5cm a2+b2=202+52=400+25=425=c2 c=425<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=25⋅17<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=517<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​cm

Rozwiązanie 1

a) Widzimy, że  32+42=9+16=25=52 Zatem z tw. odwrotnego do tw. Pitagorasa wiemy, że podany trójkąt jest prostokątny. Zatem jego przyprosotkątne (3 cm i 4 cm) są odpowiednio podstawą i wysokością trójkąta. Liczymy pole P=21​⋅3⋅4=6cm2 b) Podany trójkąt jest trójkątem równoramiennym o podstawie 6 cm i ramionach 5 cm. Wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli podstawę na połowę i wyznacza dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych 3 cm (połowa podstawy) i h oraz przeciwprostokątnej 5 cm. Liczymy h z tw. Pitagorasa   h2+32=52 h2=25−9=16

W rombie przekątne przecinają się w połowie oraz pod kątem prostym. Zatem dzielą romb na 4 trójkąty prostokątne. Skupmy się na jednym trójkącie prostokątnym wzynaczonym przez przekątne rombu.

a)
Z tw. Pitagorasa liczymy ramiona trójkąta a i b
<img style="vertical-align: middle;" src="http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%5Cdisplaystyle%7B%7Ba%7D%7D%5E%7B%7B2%7D%7D%3D%7B%7B2%7D%7D%5E%7B%7B2%7D%7D%2B%7B%7B%5Cleft(%7B2%7D%5Csqrt%7B%7B%7B3%7D%7D%7D%5Cright)%7D%7D%5E%7B%7B2%7D%7D">
<img style="vertical-align: middle;" src="http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%5Cdisplaystyle%7B%7Ba%7D%7D%5E%7B%7B2%7D%7D%3D%7B4%7D%2B%7B12%7D%3D%7B16%7D">

Zakładamy, że parasol ma mniejszą średnicę niż 15 cm, zatem grubość teczki na pewno wystarczy, aby go włożyć do środka. Pytanie zasadnicze to, czy parasol zmieści się w teczce na długość? By odpowiedzieć na to pytanie wystaczy narysować rzut teczki z boku - prostokąt o wymiarach 50 cm x 30cm. Na pewno nie da się ułożyć parasola poziomo (ma 62 cm, a teczka tylko 50 cm długości). Należy sprawdzić, czy parasol zmieści się układając go "po przekątnej" prostokąta (teczki). Liczymy przekątną teczki z tw. Pitagorasa x2=502+302=2500+900=3400

Najdłuższy wymiar kartki papieru, to jej przekątna. Liczymy ją z tw. Pitagorasa   x2=402+502=1600+2500=4100

To zadanie ma dwa rozwiązania, ponieważ podana podstawa długości 20 może być krótszą podstawą jak również dłuższą podsatwą trapezu. a) Niech krótsza podstawa trapezu ma długość trapezu. Aby policzyć pole trapezu musimy wzynaczyć długość dłuższej podstawy. W tym celu policzymy z tw. Pitagorasa długość odcinka x. <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/22336/BF3ryNRYH0LhXIXEW5PATg%3D%3D_ad1b0ff9921c1bc87936b81a47c616f2a3a831c16b4f71410de02a4187549764.jpg" width="406" height="258"> x2+122=132 x2=169−144=25 x=5

Liczymy długość czwartego boku trapezu x = 52-3*10=52-30=22 Zatem boki tapezu mają długość 10, 10, 10, 22. Z tego wynika, że prezentowany trapez jest równoramienny - krótsza podstawa ma długość 10, dłuższa podstawa ma długość 22, a ramiona po 10 długości. Warto taki trapez narysować. Aby policzyć pole trapezu należy wyznaczyć jego wysokość.  <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/22335/D85ARwLhUuq2j2rbfKUVYw%3D%3D_7c256a204b19d898d4c93317e6bb3bc60a626041d0c8cfb558cae8dc0214453e.jpg" width="406" height="258"> Liczymy z tw. Pitagorasa h2+62=102

Trapez jest to czworokąt, który ma parę boków równoległych. Wystarczy sprawdzić, czy boki długosci 8 i 24 są równoległe. Załózmy, że tak jest, że podany czworokąt jest trapezem, czyli boki długości 8 i 24 są równoległe. Z tw. Pitagorasa liczymy długość odcinka x i y. x2+52=132 x2=169−25=144