Matematyka

Autorzy:Małgorzata Dobrowolska

Wydawnictwo:GWO

Rok wydania:2010

Który z narysowanych graniastosłupów prawidłowych ma największe, a które najmniejsze pole powierzchni? 4.53 gwiazdek na podstawie 15 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 3 Klasa
  3. Matematyka

Który z narysowanych graniastosłupów prawidłowych ma największe, a które najmniejsze pole powierzchni?

20
 Zadanie

21
 Zadanie

22
 Zadanie
1
 Zadanie
2
 Zadanie
3
 Zadanie

Pole powierzchni obliczamy korzystając ze wzoru:

`P_c=2P_p+P_b` 

gdzie Pp- pole podstawy, Pb - pole boczne

 

 

a) Rysunek pomocniczy:

 

 Aby obliczyć długość krawędzi podstawy a (na rysunku zaznaczona kolorem niebieskim) korzystamy z własności trójkąta o kątach 30o ,60o, 90o.

`asqrt3=9 `

`a=9/sqrt3` 

Usuwamy niewymierność z mianownika:

`a=9/sqrt3*sqrt3/sqrt3=(strike9^3sqrt3)/strike3^1=3sqrt3` 

 Graniastosłup jest prawidłowy, więc jego podstawy to trójkąty równoboczne.

Obliczamy pole podstawy, czyli pole trójkąta równobocznego o boku długości 33:

 `P_p=((3sqrt3)^2*sqrt3)/4=(27sqrt3)/4\ [j^2]`  

Pole boczne składa się z 3 prostokatów o wymirach 9 x 33:

`P_b=3*9*3sqrt3=81sqrt3\ [j^2]` 

 Obliczamy pole calkowite graniastosłupa:

`P_c=2*P_p+P_b=strike2^1*(27sqrt3)/strike4^2+81sqrt3=13,5sqrt3+81sqrt3=94,5sqrt3\ [j^2]`  

`P_c=94,5sqrt3~~94,5*1,7=ul(ul(160,65\ [j^2]))` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

b) Rysunek pomocniczy:

 

Korzystając z własności trójkąta o kątach 45o ,45o i 90o przekątna podstawy ma taką samą długośc, jak wysokość graniastosłupa (zaznaczone kolorem czerwonym).

Obliczamy długość przekątnej podstawy (d) , a tym samym wysokości graniastosłupa (H):

`d=3sqrt2*sqrt2=3*2=6`  

i tym samym:

`H=d=6` 

 Graniastosłup jest prawidłowy, więc jego podstawy to kwadraty.

Obliczamy pole podstawy, czyli pole kwadratu o bokach długości 32:

`P_p=(3sqrt2)^2=18\ [j^2]` 

Pole boczne składa się z 4 prostokatów o wymirach 6 x 3√2:

`P_b=4*6*3sqrt2=72sqrt2\ [j^2]`

 Obliczamy pole calkowite graniastosłupa:

`P_c=2*P_p+P_b=2*18+72sqrt2=36+72sqrt2=36(1+2sqrt2)\ [j^2]` 

`P_c=36(1+2sqrt2)~~36(1+2*1,4)=36(1+2,8)=36*3,8=ul(ul(136,8\ [j^2]))` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

c) Rysunek pomocniczy:

 

Zauważmy, że odcinek zaznaczony na zielono jest równy dwóm wysokościom trójkąta równobocznego o bku długości 23.

Stąd długość zielonego odcinka to:

`b=strike2^1*(2sqrt3*sqrt3)/strike2^1=6` 

 Aby obliczyć długość wysokości graniastosłupa (H) zaznaczonej kolorem czerwonym korzystamy z własności trójkąta o kątach 30o ,60o, 90o

`H=6sqrt3`  

 Graniastosłup jest prawidłowy, więc jego podstawy to sześciokąty foremne.

Obliczamy pole podstawy, czyli pole sześciokąta foremnego o boku długości 23:

`P_p=strike6^3*((2sqrt3)^2*sqrt3)/strike4^2=3*(strike12^6*sqrt3)/strike2^1=18sqrt3\ [j^2]`   

Pole boczne składa się z 6 prostokatów o wymirach 23 x 63:

`P_b=6*2sqrt3*6sqrt3=72*3=216\ [j^2]`

 Obliczamy pole calkowite graniastosłupa:

`P_c=2*P_p+P_b=2*18sqrt3+216=36sqrt3+216=36(sqrt3+6)\ [j^2]`

`P_c=36(sqrt3+6)~~36(1,7+6)=36*7,7=ul(ul(277,2\ [j^2]))` 

 

Odp:  Największe pole ma 3 graniastosłup a najmniejsze 2 graniastosłup.

user profile image
Domin12 2017-02-02
Błędy w zadaniu
user profile image
Odrabiamy.pl 2017-02-03
@Domin12 Cześć, zadanie zostało zaktualizowane:) Pozdrawiamy!