Matematyka

Matematyka wokół nas 3 (Zbiór zadań, WSiP)

Bok a rombu i jego przekątne p i q spełniają warunek pq=a². Wyznacz miarę kąta ostrego rombu. 4.67 gwiazdek na podstawie 9 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 3 Klasa
  3. Matematyka

Bok a rombu i jego przekątne p i q spełniają warunek pq=a². Wyznacz miarę kąta ostrego rombu.

9
 Zadanie
10
 Zadanie
11
 Zadanie
12
 Zadanie
13
 Zadanie

14
 Zadanie

1
 Zadanie
2
 Zadanie

Romb ma przekątne, które przecinają się pod kątem prostym. Skoro rownanie matematyczne, oznacza to, że romb składa się z czterech trójkątów prostokątnych, o przyprostokątnych rownanie matematyczne  i rownanie matematyczne.

Obliczmy najpierw długość boku rombu(oznaczmy przez x) i jednocześnie długość przeciwprostokąnej każdego z trójkąta prostokątnego:

rownanie matematyczne ` `

rownanie matematyczne

Istnieją teraz dwie możliwości. Albo kąt między bokiem rownanie matematyczne i bokiem x jest kątem ostrym rombu, albo jest nim kąt między rownanie matematyczne i bokiem x. Rozważmy tą pierwszą możliwość. Wtedy zastosowanie ma definicja tangensa kąta leżącego między przeciwprostokątną i przyprostokątną rownanie matematyczne  :

rownanie matematyczne

Kąt rownanie matematyczne  można wyznaczyć z funkcji odwrotnej do funkcji tangens. Nazywa się ona arcus tangens. Z powyższego równania otrzymujemy zatem:

rownanie matematyczne

W przypadku drugiej możliwości, tzn, gdy kątem ostrym rombu jest kąt między rownanie matematyczne i bokiem x, mamy:

rownanie matematyczne

I wtedy analogicznie jak w poprzednim przypadku:

rownanie matematyczne

Na marginesie - funkcję arcus tangens konkretnego argumentu można wyznaczyć nie tylko z tablic matematycznych czy kalkulatora funkcyjnego, ale także korzystając z odpowiedniego przybliżenia szeregu potęgowego.

Rozważmy jednak prosty przypadek, tzn. taki, że argument funkcji arcus tangens znajdzie się w tablicach wartości dla funkcji tangens. Weźmy rownanie matematyczne i rownanie matematyczne. Wtedy:

rownanie matematyczne

Ponieważ rownanie matematyczne, to z odwrotności funkcji arcus tangens wynika, że rownanie matematyczne. Argument Pi ma 180 stopni, zatem rownanie matematyczne stopni. Otrzymaliśmy zatem szczególny przypadek rombu o równej długości przekątnych, przecinających się pod kątem prostym - kwadrat.

DYSKUSJA
Informacje
Autorzy: Podobińska Barbara, Przetacznik-Dąbrowa Teresa
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
ISBN: 9788302135347
Autor rozwiązania
user profile

Marek

1212

Korepetytor

Wiedza
System rzymski

System rzymski jest systemem zapisywania liczb, który w przeciwieństwie do zapisu pozycyjnego, pozwala zapisać liczby przy pomocy znaków o zawsze ustalonej wartości.


W systemie rzymskim do zapisania liczby używamy zdecydowanie mniej znaków niż w systemie dziesiątkowym.

Za pomocą 7 znaków (liter) : I, V, X, L, C, D i M jesteśmy w stanie ułożyć każdą liczbę naturalną od 1 do 3999.

Do każdego znaku przypisano inną wartość. 

Wyróżniamy cyfry podstawowe:

  • I = 1
  • X = 10
  • C = 100
  • M = 1000 

oraz cyfry pomocnicze:

  • V = 5
  • L = 50 
  • D = 500


Zasady zapisywania liczb w systemie rzymskim
:

  1. Możemy zapisać maksymalnie 3 takie same cyfry podstawowe (czyli I, X, C, M) obok siebie.

    Cyfry pomocnicze (czyli V, L, D) nie mogą występować obok siebie.

    Przykłady:

    • VIII  `->`   `5+1+1+1=8` 

    • MMCCC  `->`   `1000+1000+100+100+100=2300` 

  2. W celu uproszczenia wielu zapisów dopuszcza się umieszczenie cyfry podstawowej o mniejszej wartości przed cyfrą o większej wartości.

    W takim jednak przypadku od wartości większej liczby odejmujemy wartość mniejszej liczby.

    Przykłady:

    • IX  `->`   `10-1=9` 

    • CD  `->`   `500-100=400` 

  3. Gdy liczby (znaki) są ustawione od największej do najmniejszej to wówczas dodajemy ich wartości.

    Przykłady:

    • MMDCLVII  `->`   `1000+1000+500+100+50+5+1+1=2657`   

    • CXXVII  `->`   `100+10+10+5+1+1=127`   

 

Ciekawostka

System rzymski pochodzi od wysoko rozwiniętej cywilizacji Etrusków (ok. 500 r. p.n.e.).

Początkowo zapisywano liczby za pomocą pionowych kresek I, II, III, IIII, IIIII, ... .

Rzymianie przejęli cyfry od Etrusków i poddali je pewnym modyfikacjom oraz udoskonaleniom, co dało początki dzisiaj znanemu systemowi rzymskiemu.

Cyfr rzymskich używano na terenie imperium aż do jego upadku w V w. n.e.

W średniowieczu stały się standardowym systemem liczbowym całej łacińskiej Europy. Pod koniec tej epoki zaczęto coraz częściej używać cyfr arabskich, prostszych i wygodniejszych do obliczeń oraz zapisywania dużych liczb.

System rzymski stopniowo wychodził z codziennego użycia, chociaż do dziś jest powszechnie znany w Europie i stosowany do wielu celów.

Prostokąt

Prostokąt to czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne są kątami prostymi.

Sąsiednimi bokami nazywamy te boki, które mają wspólny wierzchołek. W prostokącie każde dwa sąsiednie boki są prostopadłe.

Przeciwległymi bokami nazywamy te boki, które nie mają punktów wspólnych. W prostokącie przeciwległe boki są równoległe oraz mają równą długość.

Odcinki, które łączą dwa przeciwległe wierzchołki (czyli wierzchołki nie należące do jednego boku) nazywamy przekątnymi. Przekątne prostokąta mają równe długości oraz przecinają się w punkcie, który jest środkiem każdej przekątnej, to znaczy punkt ten dzieli przekątne na połowy.

Wymiarami prostokąta nazywamy długości dwóch sąsiednich boków. Jeden bok nazywamy długością, a drugi szerokością prostokąta.
 

prostokat
Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom