III gimnazjum

Matematyka wokół nas 3

Oznaczenia r - promień przekroju R - promień kuli h - odległość promienia przekroju od promienia kuli   Z drugiej strony, promień przekroju wraz z odległością h i promieniem kuli tworzy trójkąt prostokątny. Promień kuli jest tutaj przeciwprostokątną. Mamy zatem: r2+d2=R2 r=R2−d2<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.28em' viewBox='0 0 400000 1296' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M263,681c0.7,0,18,39.7,52,119
c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120
c340,-704.7,510.7,-1060.3,512,-1067
l0 -0
c4.7,-7.3,11,-11,19,-11
H40000v40H1012.3
s-271.3,567,-271.3,567c-38.7,80.7,-84,175,-136,283c-52,108,-89.167,185.3,-111.5,232
c-22.3,46.7,-33.8,70.3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1
s-109,-253,-109,-253c-72.7,-168,-109.3,-252,-110,-252c-10.7,8,-22,16.7,-34,26
c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z
M1001 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=202−102<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.28em' viewBox='0 0 400000 1296' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M263,681c0.7,0,18,39.7,52,119
c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120
c340,-704.7,510.7,-1060.3,512,-1067
l0 -0
c4.7,-7.3,11,-11,19,-11
H40000v40H1012.3
s-271.3,567,-271.3,567c-38.7,80.7,-84,175,-136,283c-52,108,-89.167,185.3,-111.5,232
c-22.3,46.7,-33.8,70.3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1
s-109,-253,-109,-253c-72.7,-168,-109.3,-252,-110,-252c-10.7,8,-22,16.7,-34,26
c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z
M1001 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=400−100<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=300<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=103<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​ cm   Pole przekroju wynosi: P=π⋅r2=π⋅(103<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​)2=π⋅100⋅3=300π cm2

Rozwiązanie 1

Objętosˊcˊ kuli jest roˊwna: V=34​πr3

Pole pojedynczej ściany sześcianu wynosi: <img style="vertical-align: middle;" src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&amp;chf=bg,s,FFFFFFFF&amp;chco=444444&amp;chl=%5Cdisplaystyle%7B%7Ba%7D%7D%5E%7B%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%7B%7B139%7D%2C%7B24%7D%7D%7D%7B%7B4%7D%7D%3D%7B34%7D%2C%7B81%7D%7Bc%7D%7B%7Bm%7D%7D%5E%7B%7B2%7D%7D">   Bok sześcianu jest zatem równy:  a=5,9 cm

Wyznaczmy promień r kuli: 2304π=34​πr3 r3=2304⋅43​=1728

Wyznaczmy promień kuli i zarazem promień koła wielkiego kuli (czyli także stożka): 784π=4πr2 r2=196

Objętość stożka wynosi: V1​=31​⋅π⋅52⋅h=325​π⋅h   Objętość kuli jest równa: V2​=34​πr3=34​π⋅125=3500​π

Romb obrócony dookoła dłuższej przekątnej składa się z dwóch stożków. Promień tego stożka jest równy długości połowy krótszej przekątnej. Możemy ją policzyć z trójkąta prostokątnego o kątach 30° i 60° złożonego z połów przekątnych i boku rombu. Połowa krótszej przekątnej wynosi 3 cm, a połowa dłuższej przekątnej 3√3 cm. Mamy zatem dwa stożki o promieniu r = 3 cm. Ich wysokość wynosi długość połowy krótszej przekątnej, czyli h = 3√3 cm. Tworząca stożka jest jednocześnie bokiem rombu i wynosi l = 6 cm. Mamy:

Bryła ta składa się ze stożka oraz walca, w którym został wykrojony stożek. Promień stożka będzie równy krótszej wysokości równoległoboku. Wysokość równoległoboku wraz z krótszym bokiem 4 cm i częścią dłuższego boku tworzy trójkąt prostokątny o kątach 30° i 60°. Wysokość wynosi zatem h = ½ ∙ 4 = 2 cm. Jest to jednocześnie długość promienia stożka. Druga z przyprostokątnych jest równa 2√3 cm. Objętość bryły jest objętością walca o promieniu podstawy 2 cm i wysokości 8 cm. Wynika to z tego, że stożek leżący na tym walcu jest taki sam, jak stożek wykrojony z walca z drugiej strony. Mamy zatem: V=π⋅22⋅8=32π cm3

Objętość walca o promieniu 24 cm i wysokości h wynosi: V1​=π⋅242⋅h=576hπ cm3

Objętość pojemnika w kształcie walca o promieniu 4 cm i wysokości 9 cm wynosi: V1​=π⋅42⋅9=16⋅9π=144π cm3

Najwygodniejszy sposób nauki z edukacyjnym Odrabiamy AI

6