III gimnazjum

Matematyka wokół nas 3

Rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/23405/pSQdONkN5YCC/s/VLdXjjQ%3D%3D_e7c037929113c71e354a8e5dd33dce38f3bd40f1af96978414b14f22ab3d1791.png" width="137" height="138"> Pole troˊjkąta jest roˊwne roˊz˙nicy pola kwadratu i trzech pozostałych troˊjkątoˊw prostokątnych, czyli:

Rozwiązanie 1

2x - dłuższy bok równoległoboku x - krótszy bok równoległoboku Wysokość równoległoboku wraz z krótszym bokiem i drugą przyprostokątną tworzy trójkąt prostokątny o kątach 60° i 30°. Oznaczmy zatem drugą przyprostokątną przez ½x. Z tw. Pitagorasa mamy: (21​x)2+92=x2 4x2​+81=x2

x - długosˊcˊ drugiego boku 75​x - długosˊcˊ pierwszego boku

Wysokosˊcˊ opuszczona na dłuz˙szy bok 60 m tworzy razem z kroˊtszym bokiem i drugą przyprostokątną troˊjkąt prostokątny o kątach 30o i 60o. Wysokosˊcˊ jest zatem roˊwna 21​⋅20⋅3<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=103<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​ m.

12 cm - długosˊcˊ przekątnej rombu 32​⋅12=8 cm - długosˊcˊ drugiej przekątnej rombu

Wysokosˊcˊ opuszczona na dłuz˙szy bok 10 cm tworzy wraz kroˊtszym bokiem

a - długosˊcˊ boku rombu d - długosˊcˊ kroˊtszej przekątnej

5x - krótszy bok równoległoboku 7x - dłuższy bok równoległoboku Z tw. Pitagorasa i warunków zadania mamy równanie: (5x)2+(66<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​)2=(7x)2

Długosˊcˊ przekątnej wynosi 6 cm.   Kroˊtsza przekątna wraz z dłuz˙szą przekątną dzielą romb na cztery troˊjkąty prostokątne o kątach 30o i 60o.

x - wysokosˊcˊ roˊwnoległoboku 0,7x - druga wysokosˊcˊ roˊwnoległoboku Wysokosˊcˊ opuszczona na jeden bok roˊwnoległoboku tworzy z kątem 60o i częsˊcią boku troˊjkąt prostokątny o kątach 60o i 30o.