III gimnazjum

Matematyka wokół nas 3

Rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/23400/bbMBjKiR/2qsfknfIQ7vPw%3D%3D_d92bc4f71a920aa61fc0b2402825fcd805e387b39cc191478a025ee0cd506d1f.png" width="178" height="174"> Mamy trójkąt równoboczny ABC. Poprowadźmy dwusieczne z każdego kąta tego trójkąta, tzn. kąta ABC, BCA i CAB. Dwusieczne AK, BL i CM dzielą kąt trójkąta na połowę, a jednocześnie są środkowymi boków przeciwległych do kąta (bo trójkąt jest równoboczny). Do tego są prostopadłe do boków, ponieważ np. ∠KAC = 30°, ∠KCA = 60°, a z tego wynika, że ∠AKC=90°. Odcinki SK, SL i SM są zatem prostopadłe do boków. Dwusieczne przecinają się w ²/₃ wysokości trójkąta(oznaczmy jako h). Mamy zatem: ∣SK∣=31​h ∣SL∣=31​h ∣SM∣=31​h ∣SK∣+∣SL∣+∣SM∣=31​h+31​h+31​h=h

Rozwiązanie 1

Sześciokąt foremny wpisany w okrąg składa się z sześciu trójkątów równobocznych złączonych ze sobą. Bok sześciokąta foremnego oznaczmy jako a. Wówczas łatwo zauważyć, że promień okręgu, na którym wpisano sześcian, również wynosi a. Mamy zatem a = 8 cm. Ponieważ sześciokąt składa się z sześciu trójkątów równobocznych, to odległość boku sześciokąta od środka okręgu (oznaczmy jako l) jest równa wysokości pojedynczego trójkąta równobocznego o boku a. Mamy zatem:

a)   4 m2=4⋅100 cm⋅100 cm=40 000 cm2   12 dm2=12⋅10 cm⋅10 cm=1200 cm2   150 mm2=150⋅0,1 cm⋅0,1 cm=1,5 cm2   4 a=4⋅100 m2=400 m2=400⋅100 cm⋅100 cm=4 000 000 cm2

a) P=(13117​)⋅(1432​)⋅21​=11150​⋅344​⋅21​= 11150​⋅322​=150⋅32​=50⋅2=100 cm2

3a - długość boku a - długość drugiego boku   Z warunków zadania: 2⋅(3a+a)=72

a + 2,5 - bok prostokąta a - drugi bok prostokąta   Z warunków zadania: 2⋅(a+2,5+a)=19,4 2a+5+2a=19,4

0,65a - bok prostokąta a - drugi bok prostokąta   Z warunków zadania: 2⋅(0,65a+a)=1,32 3,3a=1,32

Boki prostokąta są przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 30° i 60°. Ponieważ przeciwprostokątna wynosi 4√3 cm, to przyprostokątne mają długość 2√3 cm, 2 ∙ √3 ∙ √3 = 6 cm. Pole prostokąta wynosi: P=2⋅3<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​⋅6=123<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​ cm2

a - jeden bok prostokąta b - drugi bok prostokąta 1,2a - jeden bok prostokąta po zwiększeniu o 20% 0,8a - drugi bok prostokąta po zmniejszeniu o 20% Pole prostokąta przed zmianami: P1​=ab

Rysunek: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/23401/f8hFAregN8IOleewRfW4wQ%3D%3D_2199d8a1806889ac9c0735ad3414b0d685966dc9548cc717d79c587debd4ade3.png" width="233" height="225"> Przekątna ma długosˊcˊ 6 cm. Bok ma zatem długosˊcˊ 2<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​6​=32<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​ cm.