Rozważamy romb $ABCD$ o polu równym $82,5$, w którym $A=\left(-2,6\right)$, a przekątna $BD$ zawiera się w prostej  $l:2x-y-5=0$.

Przypomnijmy, że pole rombu jest równe połowie iloczynu długości przekątnych, przy czym przekątne w rombie przecinają się w połowie, pod kątem prostym. Zacznijmy od wyznaczenia równania prostej, w której zawarta jest przekątna $\text{AC}$. Na początek równanie prostej $l$ zapiszmy w postaci kierunkowej, ponieważ w następnym kroku potrzebny będzie nam jej współczynnik kierunkowy.

$2x-y-5=0|+y$

$2x-5=y$

$y=2x-5$

Niech prosta $AC$ dana będzie równaniem:

$y=ax+b$

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy $-1$, więc:

$a=-\frac{1}{2}$

Równanie prostej $AC$ ma więc postać:

$y=-\frac{1}{2}x+b$

Do tej prostej należy punkt $A=\left(-2,6\right)$. Współrzędne tego punktu wstawiamy do powyższego równania by wyznaczyć wyraz wolny $b$.

$6=-\frac{1}{2}\cdot \left(-2\right)+b$

$6=1+b|-1$

$5=b$

$b=5$

Wobec tego:

$AC:y=-\frac{1}{2}x+5$

Niech $O$ będzie punktem przecięcia przekątnych tego rombu. Jest on także środkiem odcinka $AC$. Wyznaczmy jego współrzędne, rozwiązując następujący układ równań:

$\{\begin{array}{l}y=2x-5\\ y=-\frac{1}{2}x+5\end{array}$

Korzystając z metody podstawiania, otrzymujemy kolejno:

$2x-5=-\frac{1}{2}x+5|+\frac{1}{2}x$

$2\frac{1}{2}x-5=5|+5$

$\frac{5}{2}x=10|\cdot \frac{2}{5}$

$x=4$

Wstawiamy $x=4$ np. do pierwszego równania układu równań i obliczamy $y$.

$y=2\cdot 4-5=8-5=3$

Zatem punkt przecięcia przekątnych ma współrzędne:

$O=\left(4,3\right)$

Mając współrzędne punktów $A$ i $O$, możemy wyznaczyć współrzędne wierzchołka $\text{C}$. Ze wzoru na współrzędne środka odcinka mamy:

$\{\begin{array}{l}{x}_O=\frac{x_A+x_C}{2}\\ y_O=\frac{y_A+y_C}{2}\end{array}$

Stąd otrzymujemy:

$\{\begin{array}{l}4=\frac{-2+x_C}{2}|\cdot 2\\ 3=\frac{6+y_C}{2}|\cdot 2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}8=-2+x_C|+2\\ 6=6+y_C|-6\end{array}$

$\{\begin{array}{l}10=x_C\\ 0=y_C\end{array}$

Czyli:

$\{\begin{array}{l}{x}_C=10\\ y_C=0\end{array}$

Zatem:

$C=\left(10,0\right)$

W zadaniu dane jest pole rombu. Znamy także współrzędne dwóch przeciwległych wierzchołków - są nimi punkty $A$ i $C$. Zatem wyznaczmy długość przekątnej $\text{AC}$, by w następnym kroku móc obliczyć długość przekątnej $\text{BD}$ - będzie ona konieczna do wyznaczenia współrzędnych dwóch pozostałych wierzchołków rombu. Ze wzoru na długość odcinka otrzymujemy:

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(x_C-x_A\right)}^2+{\left(y_C-y_A\right)}^2}=\sqrt{{\left(10-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(0-6\right)}^2}=\sqrt{{\left(10+2\right)}^2+{\left(-6\right)}^2}=\sqrt{12^2+36}=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$

Zapiszmy wzór na pole rombu $ABCD$.

$P=\frac{\left|AC\right|\cdot \left|BD\right|}{2}$

Wobec tego:

$82,5=\frac{6\sqrt{5}\cdot \left|BD\right|}{2}|\cdot 2$

$165=6\sqrt{5}\cdot \left|BD\right||:6\sqrt{5}$

$\frac{165}{6\sqrt{5}}=\left|BD\right|$

Usuńmy niewymierność z mianownika ułamka.

$\left|BD\right|=\frac{165}{6\sqrt{5}}=\frac{165\cdot \sqrt{5}}{6\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{165\sqrt{5}}{6\cdot 5}=\frac{33\sqrt{5}}{6}=\frac{11\sqrt{5}}{2}=\frac{11}{2}\sqrt{5}$

Pozostało nam jeszcze wyznaczenie współrzędnych punktów $\text{B}$ i $\text{D}$, które są punktami wspólnymi prostej $l$ oraz okręgu o środku w punkcie $O$ i promieniu $\left|OB\right|$ (lub $\left|OD\right|$). Dla lepszego zobrazowania sytuacji wykonajmy rysunek pomocniczy.

Wyznaczmy długość promienia narysowanego okręgu.

$\left|BO\right|=\frac{1}{2}\left|BD\right|=\frac{1}{2}\cdot \frac{11\sqrt{5}}{2}=\frac{11\sqrt{5}}{4}$

Zapiszmy równanie okręgu o środku w punkcie $O=\left(4,3\right)$ i promieniu $\left|BO\right|$.

$(x-4{)}^2+(y-3{)}^2={\left(\frac{11\sqrt{5}}{4}\right)}^2$

Współrzędne wierzchołków $B$ i $D$ spełniają układ równań:

$\{\begin{array}{l}(x-4{)}^2+(y-3{)}^2={\left(\frac{11\sqrt{5}}{4}\right)}^2\\ y=2x-5\end{array}$

Rozwiążmy go, korzystając z metody podstawiania.

$(x-4{)}^2+(2x-5-3{)}^2=\frac{121\cdot 5}{16}$

$(x-4{)}^2+(2x-8{)}^2=\frac{121\cdot 5}{16}$

Zauważmy, że:

$2x-8=2\left(x-4\right)$

Mamy więc:

$(x-4{)}^2+(2(x-4){)}^2=\frac{121\cdot 5}{16}$

$(x-4{)}^2+4(x-4{)}^2=\frac{121\cdot 5}{16}$

$5(x-4{)}^2=\frac{121\cdot 5}{16}|:5$

$(x-4{)}^2=\frac{121}{16}$

Stąd:

$\sqrt{(x-4{)}^2}=\sqrt{\frac{121}{16}}$

Wobec tego:

$\left|x-4\right|=\frac{11}{4}$

Zatem:

$x-4=\frac{11}{4}\text{lub}x-4=-\frac{11}{4}$

$x=\frac{11}{4}+4\text{lub}x=-\frac{11}{4}+4$

$x=\frac{11}{4}+\frac{16}{4}\text{lub}x=-\frac{11}{4}+\frac{16}{4}$

$x=\frac{27}{4}\text{lub}x=\frac{5}{4}$

Przyjmijmy, że:

$x_1=\frac{27}{4}\text{lub}{x}_2=\frac{5}{4}$

Dla każdej z otrzymanych wartości $x$ obliczmy $y$. W tym celu wstawiamy wartości $x$ np. do równania $y=2x-5$ i otrzymujemy:

$y_1=2x_1-5=2\cdot \frac{27}{4}-5=\frac{27}{2}-\frac{10}{2}=\frac{17}{2}$

$y_2=2x_2-5=2\cdot \frac{5}{4}-5=\frac{5}{2}-\frac{10}{2}=-\frac{5}{2}$

Tak więc układ równań ma dwa rozwiązania:

$\{\begin{array}{l}x=\frac{27}{4}\\ y=\frac{17}{2}\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{4}\\ y=-\frac{5}{2}\end{array}$

Zgodnie z oznaczeniami przyjętymi na rysunku:

$B=\left(\frac{5}{4},-\frac{5}{2}\right)$

$D=\left(\frac{27}{4},\frac{17}{2}\right)$

---

Odp. $B=\left(\frac{5}{4},-\frac{5}{2}\right),C=(10,0),D=\left(\frac{27}{4},\frac{17}{2}\right).$