a)

Dany jest wielomian:

$w\left(x\right)=x^6-3x^5+a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2-5x-1$

Wiemy, że $x=-1$ jest jego dwukrotnym pierwiastkiem.

Zatem dwumian $x+1$ dzieli wielomian $w$.

Wykonajmy to dzielenie korzystając np. ze schematu Hornera. Mamy:

	$1$	$-3$	$a$	$b$	$c$	$-5$	$-1$
$-1$	$1$	$-4$	$4+a$	$-4-a+b$	$4+a-b+c$	$-9-a+b-c$	$8+a-b+c$

Ostatni z elementów w drugim wierszu jest równy zero, zatem:

$8+a-b+c=0$

$a-b+c=-8$

Liczba $x=-1$ jest pierwiastkiem wielomianu:

$v\left(x\right)=x^5-4x^4+\left(4+a\right)x^3+\left(-4-a+b\right)x^2+\left(4+a-b+c\right)-9-a+b-c$

Zatem dwumian $x+1$ dzieli wielomian $v$.

Wykonajmy to dzielenie korzystając np. ze schematu Hornera. Mamy:

	$1$	$-4$	$4+a$	$-4-a+b$	$4+a-b+c$	$-9-a+b-c$
$-1$	$1$	$-5$	$9+a$	$-13-2a+b$	$17+3a-2b+c$	$-26-4a+3b-2c$

Ostatni z elementów w drugim wierszu jest równy zero, zatem:

$-26-4a+3b-2c=0$

$-4a+3b-2c=26$

Dodatkowo wiemy, że:

$w\left(1\right)=-1$

$1^6-3\cdot 1^5+a\cdot 1^4+b\cdot 1^3+c\cdot 1^2-5\cdot 1-1=-1|+1$

$1-3+a+b+c-5=0$

$a+b+c=7$

Zatem możemy zapisać układ równań:

$\{\begin{array}{l}a-b+c=-8\\ -4a+3b-2c=26\\ a+b+c=7\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=-8+b-c\\ -4\left(-8+b-c\right)+3b-2c=26\\ -8+b-c+b+c=7\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=-8+b-c\\ 32-4b+4c+3b-2c=26\\ -8+2b=7\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=-8+b-c\\ -b+2c=-6\\ 2b=15\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=-8+\frac{15}{2}-c\\ -\frac{15}{2}+2c=-6\\ b=\frac{15}{2}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=-6+\frac{15}{2}-c\\ 2c=-6+\frac{15}{2}\\ b=\frac{15}{2}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=-8+\frac{15}{2}-c\\ c=-3+\frac{15}{4}\\ b=\frac{15}{2}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=-8+\frac{15}{2}-c\\ c=-\frac{12}{4}+\frac{15}{4}\\ b=\frac{15}{2}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=-8+\frac{15}{2}-c\\ c=\frac{3}{4}\\ b=\frac{15}{2}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=-8+\frac{15}{2}-\frac{3}{4}\\ c=\frac{3}{4}\\ b=\frac{15}{2}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=-\frac{32}{4}+\frac{30}{4}-\frac{3}{4}\\ c=\frac{3}{4}\\ b=\frac{15}{2}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=-\frac{5}{4}\\ c=\frac{3}{4}\\ b=\frac{15}{2}\end{array}$

Zatem:

$a=-\frac{5}{4}$, $b=\frac{15}{2}$, $c=\frac{3}{4}$

---

b)

Zapiszmy wyznaczony wzór wielomianu $w$. Mamy:

$w\left(x\right)=x^6-3x^5-\frac{5}{4}{x}^4+\frac{15}{2}{x}^3+\frac{3}{4}{x}^2-5x-1$

$w\left(x\right)=x^6-3x^5-\frac{5}{4}{x}^4+\frac{30}{4}{x}^3+\frac{3}{4}{x}^2-5x-1$

Wiemy, że $x=-1$ jest jego dwukrotnym pierwiastkiem.

Zatem dwumian $x+1$ dzieli wielomian $w$.

Wykonajmy to dzielenie korzystając np. ze schematu Hornera. Mamy:

	$1$	$-3$	$-\frac{5}{4}$	$\frac{30}{4}$	$\frac{3}{4}$	$-5$	$-1$
$-1$	$1$	$-4$	$\frac{11}{4}$	$\frac{19}{4}$	$-\frac{16}{4}=-4$	$-1$	$0$

Zatem:

$w\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^5-4x^4+\frac{11}{4}{x}^3+\frac{19}{4}{x}^2-4x-1\right)$

Liczba $x=-1$ jest pierwiastkiem wielomianu:

$v\left(x\right)=x^5-4x^4+\frac{11}{4}{x}^3+\frac{19}{4}{x}^2-4x-1$

Zatem dwumian $x+1$ dzieli wielomian $v$.

Wykonajmy to dzielenie korzystając np. ze schematu Hornera. Mamy:

	$1$	$-4$	$\frac{11}{4}$	$\frac{19}{4}$	$-4$	$-1$
$-1$	$1$	$-5$	$\frac{31}{4}$	$\frac{-12}{4}=-3$	$-1$	$0$

Zatem:

$w\left(x\right)={\left(x+1\right)}^3\left(x^4-5x^3+\frac{31}{4}{x}^2-3x-1\right)$

Wyznaczmy pozostałe pierwiastki wielomianu $w$ rozwiązując równanie:

$x^4-5x^3+\frac{31}{4}{x}^2-3x-1=0|\cdot 4$

$4x^4-20x^3+31x^2-12x-4=0$

$4x^4-8x^3-12x^3+24x^2+7x^2-14x+2x-4=0$

$4x^3\left(x-2\right)-12x^2\left(x-2\right)+7x\left(x-2\right)+2\left(x-2\right)=0$

$\left(x-2\right)\left(4x^3-12x^2+7x+2\right)=0$

$\left(x-2\right)\left(4x^3-8x^2-4x^2+8x-x+2\right)=0$

$\left(x-2\right)\left[4x^2\left(x-2\right)-4x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)\right]=0$

$\left(x-2\right)\left(x-2\right)\left(4x^2-4x-1\right)=0$

${\left(x-2\right)}^2\left(4x^2-4x-1\right)=0$

Zatem $x=2$ jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu $w$. Pozostałe pierwiastki znajdziemy rozwiązując równanie:

$4x^2-4x-1=0$

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 4\cdot \left(-1\right)=16+16=32$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$

$x_1=\frac{4-4\sqrt{2}}{4\cdot 2}=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$

$x_2=\frac{4+4\sqrt{2}}{2\cdot 4}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$