Dany jest wielomian:

$w\left(x\right)=x^4+2x^3-16x^2-2x+15$

Wiemy, że ma on cztery pierwiastki całkowite.

Aby je znaleźć skorzystamy najpierw z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu.

Wśród całkowitych dzielników liczby $15$ znajdują się potencjalne pierwiastki wielomianu $w$. Wypiszmy te dzielniki:

$\pm 1$, $\pm 3$, $\pm 5$, $\pm 15$

Suma dwóch z pierwiastków wielomianu $w$ wynosi $-4$.

Zauważmy, że jedyne możliwości takiej sumy pierwiastków to:

$-5+1$  lub  $-3-1$

Zauważmy, że:

$w\left(1\right)=1^4+2\cdot 1^3-16\cdot 1^2-2\cdot 1+15=$

$=1+2-16-2+15=0$

$w\left(-5\right)={\left(-5\right)}^4+2\cdot {\left(-5\right)}^3-16\cdot {\left(-5\right)}^2-2\cdot \left(-5\right)+15=$

$=625-250-400+10+15=0$

Zatem liczby $1$ i $5$ są pierwiastkami wielomianu $w$, czyli pierwiastkami równania $w\left(x\right)=0$.

Wykonajmy dzielenie wielomianu $w$ przez dwumian $x-1$ korzystając np. ze schematu Hornera. Mamy:

	$1$	$2$	$-16$	$-2$	$15$
$1$	$1$	$3$	$-13$	$-15$	$0$

Zatem:

$w\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x^3+3x^2-13x-15\right)$

Wykonajmy dzielenie wielomianu $y=x^3+3x^2-13x-15$ przez dwumian $x+5$ korzystając np. ze schematu Hornera. Mamy:

	$1$	$3$	$-13$	$-15$
$-5$	$1$	$-2$	$-3$	$0$

Zatem:

$w\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+5\right)\left(x^2-2x-3\right)$

Znajdźmy pierwiastki wielomianu $y=x^2-2x-3$. Mamy:

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=4+12=16$

$\sqrt{\Delta }=4$

$x_1=\frac{2-4}{2}=-\frac{2}{2}=-1$

$x_2=\frac{2+4}{2}=\frac{6}{2}=3$

Zatem otrzymaliśmy, że pierwiastkami wielomianu $w$, czyli jednocześnie rozwiązaniami równania $w\left(x\right)=0$, są:

$x=-5$, $x=-1$, $x=1$, $x=3$