Dana jest funkcja $f\left(x\right)=\left(3\sqrt{2}-1\right)x^2+\left(2\sqrt{2}+1\right)x+1$.

Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik jest liczbą dodatnią. Obliczmy jego wartość:

$\Delta ={\left(2\sqrt{2}+1\right)}^2-4\cdot \left(3\sqrt{2}-1\right)\cdot 1=8+4\sqrt{2}+1-12\sqrt{2}+4=13-8\sqrt{2}$

Oszacujmy tę liczbę. Zauważmy, że:

$13-8\sqrt{2}=\sqrt{169}-\sqrt{64\cdot 2}=\sqrt{169}-\sqrt{128}>0$

A zatem:

$\Delta >0$

czyli funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe, co należało uzasadnić.