a)

Dane jest równanie:

$x^2+2\sqrt{2}x+\sqrt{2}=0$

Obliczmy wyróżnik kwadratowy. 

$\Delta ={\left(2\sqrt{2}\right)}^2-4\cdot 1\cdot \sqrt{2}=$

$=4\cdot 2-4\sqrt{2}=$

$=4\left(2-\sqrt{2}\right)$

Zauważmy, że $\sqrt{2}\approx 1,41,$ zatem $2-\sqrt{2}>0.$ Możemy zauważyć, że $4\left(2-\sqrt{2}\right)>0.$

Równanie ma dwa pierwiastki.

---

b)

Dane jest równanie:

$-2\sqrt{6}x+2+3x^2=0$

$3x^2-2\sqrt{6}x+2=0$

Obliczmy wyróżnik kwadratowy. 

$\Delta ={\left(-2\sqrt{6}\right)}^2-4\cdot 3\cdot 2=$

$=4\cdot 6-24=24-24=0$

Równanie ma jeden pierwiastek.

---

c)

Dane jest równanie:

$\sqrt{2}{x}^2-x+\frac{1}{4}=0$

Obliczmy wyróżnik kwadratowy. 

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{1}{4}=1-\sqrt{2}$

Zauważmy, że $\sqrt{2}\approx 1,41,$ zatem $1-\sqrt{2}<0.$

Równanie nie ma pierwiastków.

---

d)

Dane jest równanie:

$\frac{1}{3}{x}^2-2x+\pi =0$

Obliczmy wyróżnik kwadratowy. 

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot \frac{1}{3}\cdot \pi =4-\frac{4}{3}\pi$

Zauważmy, że $\pi \approx 3,14,$ zatem $\frac{4}{3}\pi \approx 4,19.$ Możemy zauważyć, że $4-\frac{4}{3}\pi <0.$

Równanie nie ma pierwiastków.

---

e)

Dane jest równanie:

$\sqrt{3}x\left(2-x\right)=3$

$2\sqrt{3}x-\sqrt{3}{x}^2=3|-3$

$-\sqrt{3}{x}^2+2\sqrt{3}x-3=0$

Obliczmy wyróżnik kwadratowy. 

$\Delta ={\left(2\sqrt{3}\right)}^2-4\cdot \left(-\sqrt{3}\right)\cdot \left(-3\right)=$

$=4\cdot 3-12\sqrt{3}=12-12\sqrt{3}=$

$=12\left(1-\sqrt{3}\right)$

Zauważmy, że $\sqrt{3}\approx 1,73,$ zatem $1-\sqrt{3}<0.$ Możemy zauważyć, że $12\left(1-\sqrt{3}\right)<0.$

Równanie nie ma pierwiastków.

---

f)

Dane jest równanie:

$2x\left(\sqrt{5}x+\sqrt{3}\right)+\frac{1}{2}=0$

$2\sqrt{5}{x}^2+2\sqrt{3}x+\frac{1}{2}=0$

Obliczmy wyróżnik kwadratowy. 

$\Delta ={\left(2\sqrt{3}\right)}^2-4\cdot 2\sqrt{5}\cdot \frac{1}{2}=$

$=4\cdot 3-4\sqrt{5}=4\left(3-\sqrt{5}\right)$

Zauważmy, że $\sqrt{5}\approx 2,24,$ zatem $3-\sqrt{5}>0.$ Możemy zauważyć, że $4\left(3-\sqrt{5}\right)>0.$

Równanie ma dwa pierwiastki.

---

g)

Dane jest równanie:

$2\sqrt{3}x=\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}{x}^2+3\right)$

$2\sqrt{3}x=\frac{\sqrt{2}}{2}{x}^2+3\sqrt{2}|-2\sqrt{3}x$

$0=\frac{\sqrt{2}}{2}{x}^2-2\sqrt{3}x+3\sqrt{2}$

Obliczmy wyróżnik kwadratowy. 

$\Delta ={\left(-2\sqrt{3}\right)}^2-4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 3\sqrt{2}=$

$=4\cdot 3-6\cdot 2=12-12=0$

Równanie ma jeden pierwiastek.

---

h)

Dane jest równanie:

$\left(\sqrt{3}x+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}x\right)=\sqrt{2}$

$\sqrt{3}x\cdot \sqrt{3}-\sqrt{3}x\cdot \sqrt{2}x+\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}-\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}x=\sqrt{2}$

$3x-\sqrt{6}{x}^2+\sqrt{6}-2x=\sqrt{2}|-\sqrt{2}$

$-\sqrt{6}{x}^2+x+\sqrt{6}-\sqrt{2}=0$

Obliczmy wyróżnik kwadratowy.

$\Delta =1^2-4\cdot \left(-\sqrt{6}\right)\cdot \left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)=$

$=1+4\sqrt{6}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)$

Zauważmy, że $\sqrt{6}-\sqrt{2}>0,$zatem $\Delta >0.$

Równanie ma dwa pierwiastki.