a)

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{2x^2+5}{6}=\frac{1}{6}+3x^2|\cdot 6$

$2x^2+5=1+18x^2|-1-18x^2$

$-16x^2+4=0|-4$

$-16x^2=-4|:\left(-16\right)$

$x^2=\frac{1}{4}$

$x=\frac{1}{2}\text{lub}x=-\frac{1}{2}$

---

b)

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{x\left(x+1\right)}{3}-4x^2=\frac{1}{6}x\left(x+2\right)|\cdot 6$

$2x\left(x+1\right)-24x^2=x\left(x+2\right)$

$2x^2+2x-24x^2=x^2+2x|-x^2-2x$

$-23x^2=0|:\left(-23\right)$

$x^2=0$

$x=0$

---

c)

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{2\sqrt{3}}{5}x-0,625=\frac{x\left(3x-\sqrt{3}\right)}{10}|\cdot 10$

$2\cdot 2\sqrt{3}x-6,25=x\left(3x-\sqrt{3}\right)$

$4\sqrt{3}x-6\frac{1}{4}=3x^2-\sqrt{3}x|-3x^2+\sqrt{3}x$

$-3x^2+5\sqrt{3}x-6\frac{1}{4}=0$

Obliczmy wyróżnik kwadratowy.

$\Delta ={\left(5\sqrt{3}\right)}^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot \left(-6\frac{1}{4}\right)=$

$=25\cdot 3+{\cancel{12}}^3\cdot \left(-\frac{25}{{\cancel{4}}_1}\right)=75-75=0$

Zatem równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie. Wyznaczmy rozwiązanie tego równania.

$x=\frac{-5\sqrt{3}}{2\cdot \left(-3\right)}$

$x=\frac{5\sqrt{3}}{6}$

---

d)

Rozwiązujemy równanie:

$\left(\sqrt{3}+1\right)\left(x-\sqrt{3}\right)=\left(1+x\right)\left(x+\sqrt{3}\right)$

$\sqrt{3}x-3+x-\sqrt{3}=x+\sqrt{3}+x^2+x\sqrt{3}|-x^{}\sqrt{3}-x$

$-3-\sqrt{3}=\sqrt{3}+x^2|-x^2+3+\sqrt{3}$

$-x^2=3+2\sqrt{3}|:\left(-1\right)$

$x^2=-3-2\sqrt{3}$

Zauważmy, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny. Po prawej stronie równania mamy liczbę ujemną, zatem jest to równanie sprzeczne.

Brak rozwiązań.

---

e)

Rozwiązujemy równanie:

$x\sqrt{3}\left(5x-6\sqrt{2}\right)=2\sqrt{6}x\left(\sqrt{2}x-3\right)$

$x\sqrt{3}\cdot 5x-x\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{2}=2\sqrt{6}x\cdot \sqrt{2}x-2\sqrt{6}x\cdot 3$

$5\sqrt{3}{x}^2-6\sqrt{6}x=2\sqrt{12}x-6\sqrt{6}x|+6\sqrt{6}x$

$5\sqrt{3}{x}^2=2\sqrt{4\cdot 3}x$

$5\sqrt{3}{x}^2=2\cdot 2\sqrt{3}x|-4\sqrt{3}x$

$5\sqrt{3}{x}^2-4\sqrt{3}x=0|:\sqrt{3}$

$5x^2-4x=0$

$x\left(5x-4\right)=0$

$x=0\text{lub}5x-4=0$

$x=0\text{lub}5x=4$

$x=0\text{lub}x=\frac{4}{5}$

---

f)

Rozwiązujemy równanie:

$\left(x+1\right)\left(x-5\right)+2x\left(5-x\right)=x-5$

$x^2-5x+x-5+10x-2x^2=x-5$

$-x^2-4x-5=x-5|-x+5$

$-x^2-5x=0$

$-x\left(x+5\right)=0$

$-x=0\text{lub}x+5=0$

$x=0\text{lub}x=-5$