Wyznacz wszystkie wartości parametru $\mathbf{p}$, dla których równanie

$\left(2\mathbf{x}+1\right)\cdot \left[{\mathbf{x}}^2-\left(\mathbf{p}-1\right)\mathbf{x}+1\right]=0$

ma trzy różne rozwiązania ${\mathbf{x}}_1$, ${\mathbf{x}}_2$ oraz ${\mathbf{x}}_3$, spełniające warunek

$\frac{1}{{\mathbf{x}}_1^2}+\frac{1}{{\mathbf{x}}_2^2}+\frac{1}{{\mathbf{x}}_3^2}\ge 2{\mathbf{p}}^2-\mathbf{p}-17$

Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

$$\begin{gathered} 2x+1=0\vee \underset{f(x)}{\underbrace{x^2-\left(p-1\right)x+1}}=0 \\ {x}_3=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$                                        

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& \Delta >0\\ & f(-\frac{1}{2})\ne 0\\ & \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+\frac{1}{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2}\ge 2p^2-p-17\end{array}\end{array}$
$(1)\Delta ={\left(p-1\right)}^2-4\cdot 1={\left(p-1\right)}^2-4$
           ${\left(p-1\right)}^2-4>0$
           ${\left(p-1\right)}^2>4|\sqrt{}$
            $\left|p-1\right|>2$