Wyznacz wszystkie wartości parametru $\mathbf{m}$, dla których równanie

$\left({\mathbf{x}}^3+\mathbf{x}+2\right)\cdot \left[\left(\mathbf{m}+1\right){\mathbf{x}}^2+4\mathbf{x}-2\mathbf{m}\right]=0$

ma trzy różne rozwiązania. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

  $x^3+x+2=0\vee \stackrel{f(x)}{\overbrace{\left(m+1\right)x^2+4x-2m}}=0\leftarrow 2$ rozwiązania, różne od $-1$
$\begin{array}{l}{x}^3-x+2x+2=0\\ x\left(x^2-1\right)+2\left(x+1\right)=0\\ x\left(x-1\right)\left(x+1\right)+2\left(x+1\right)=0\\ \left(x+1\right)\left[x\left(x-1\right)+2\right]=0\end{array}\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \Delta >0\\ f(-1)\ne 0\end{array}$
  $\underset{x=-1}{\underset{\downarrow }{\left(x+1\right)}}\underset{\Delta <0}{\underset{\downarrow }{\left(x^2-x+2\right)}}=0$

$(1)a\ne 0\to m\ne -1$
$(2)\Delta =16-4\left(m+1\right)\cdot \left(-2m\right)=16+8m^2+8m$
         $8m^2+8m+16>0$
         $m^2+m+2>0$