Rozważmy trójkąt równoboczny o boku długości $a$. Niech $h$ będzie wysokością tego trójkąta, $r$ - długością promienia okręgu wpisanego, natomiast $P$ polem powierzchni trójkąta. Wtedy zachodzi  $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}=3r$ $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ Środek okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest również punktem $H$ przecięcia wysokości. Punkt $H$ dzieli wysokości w stosunku $2:1$:

Wiemy, że w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^{\circ }$, a długość krawędzi bocznej to $7$. Chcemy wyznaczyć objętość ostrosłupa. Oznaczmy przez $h$ wysokość ostrosłupa, przez $h_s$ wysokość ściany bocznej, a przez $h_p$ wysokość podstawy, natomiast przez $a$ długość krawędzi podstawy. Niech $D$ będzie środkiem odcinka $BC$.

Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego, otrzymujemy że

$h_p=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Punkt $O$ dzieli wysokość $h_p$ w stosunku $2:1$, co oznacza, że

$\left|OD\right|=\frac{h_p}{3}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

Zwróćmy uwagę, że kąty w trójkącie $SOD$ mają miary równe $30^{\circ }$, $60^{\circ }$, $90^{\circ }$. Z zależności pomiędzy długościami odcinków w takim trójkącie otrzymujemy, że

$h=\left|OD\right|\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{6}=\frac{a\cdot 3}{6}=\frac{a}{2}$

$h_s=2\cdot \left|OD\right|=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Punkt $D$ jest środkiem odcinka $BC$, więc 

$\left|CD\right|=\frac{a}{2}$

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $SCD$ otrzymujemy, że

${\left|CD\right|}^2+{\left(h_s\right)}^2=7^2$

${\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2=7^2$

$\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{9}=49$

$\frac{9a^2+12a^2}{36}=49$

$\frac{21a^2}{36}=49$

$\frac{21a^2}{36}=49$

$a^2=\frac{49\cdot 36}{21}$

$a=\sqrt{\frac{49\cdot 36}{21}}=\sqrt{7\cdot 3\cdot 4}=2\sqrt{21}$

Stąd, pole podstawy ostrosłupa jest równe

$P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{{\left(2\sqrt{21}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4\cdot 21\cdot \sqrt{3}}{4}=21\sqrt{3}$

Wysokość ostrosłupa jest natomiast równa

$h=\frac{a}{2}=\frac{2\sqrt{21}}{2}=\sqrt{21}$

Stąd, objętość ostrosłupa jest równa

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 21\sqrt{3}\cdot \sqrt{21}=7\sqrt{3\cdot 3\cdot 7}=21\sqrt{7}$

Odpowiedź: Objętość ostrosłupa jest równa $21\sqrt{7}$.