Objętość stożka o wysokości $h$ i promieniu podstawy równym $r$, obliczymy ze wzoru $V=\frac{1}{3}h\pi r^2$ Pole powierzchni bocznej stożka o tworzącej $l$ i promieniu podstawy równym $r$, obliczymy ze wzoru $P_b=\pi rl$

Wiedząc, że objętość stożka jest równa $8\pi$, a stosunek wysokości stożka do promienia podstawy wynosi $3:8$, chcemy wyznaczyć pole powierzchni bocznej tego stożka. Podany stosunek oznacza, że dla pewnego $x$ wysokość ma długość $h=3x$, natomiast promień podstawy ma długość $r=8x$. Oznaczmy przez $l$ długość tworzącej stożka.

Zacznijmy od wyznaczenia wysokości i promienia stożka, korzystając ze wzoru na objętość stożka:

$V=\frac{1}{3}h\pi r^2$

${8\pi =\frac{1}{3}\cdot 3x\cdot \pi \cdot \left(8x\right)}^2$

$8\pi =x\cdot \pi \cdot 64x^2$

$8\pi =64x^3\pi |:\left(64\pi \right)$

$x^3=\frac{1}{8}$

$x=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$

To oznacza, że

$h=3\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

$r=8\cdot \frac{1}{2}=4$

Obliczmy długość tworzącej stożka, korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym o bokach długości $r$, $h$, $l$:

$l^2=r^2+h^2=4^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2=16+\frac{9}{4}=\frac{73}{4}$

$l=\sqrt{\frac{73}{4}}=\frac{\sqrt{73}}{2}$

Stąd, pole powierzchni bocznej stożka jest równe

$P_b=\pi rl=\pi \cdot 4\cdot \frac{\sqrt{73}}{2}=2\pi \sqrt{73}$