Z twierdzenia sinusów w trójkącie $ABC$:
$\frac{\left|AB\right|}{\sin \alpha }=2R$
$\frac{6}{\sin \alpha }=8|\cdot \sin \alpha$
$6=8\sin \alpha |:8$
$\sin \alpha =\frac{3}{4}$

Z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$
${\left(\frac{3}{4}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$
$\frac{9}{16}+{\cos }^2\alpha =1|-\frac{9}{16}$
${\cos }^2\alpha =\frac{7}{16}|\sqrt{}$

Skoro $BC$ to najdłuższy bok trójkąta $ABC$, to kąt $BAC$ jest największym kątem tego trójkąta. Zatem $\cos \alpha >0$ i wtedy:
$\cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4}$