Dana jest funkcja $f$ z parametrem $m$:

$f\left(x\right)=x^2+2\left(m+1\right)x+6m+1$

Sprawdźmy, dla jakich wartości parametru $m$ ta funkcja ma dwa różne pierwiastki $x_1$, $x_2$ tego samego znaku, takie, że:

$\left|x_1-x_2\right|<3$

---

Aby funkcja miała dwa różne pierwiastki, to musi zachodzić:

$\Delta >0$

${\left(2\left(m+1\right)\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(6m+1\right)>0$

$4{\left(m+1\right)}^2-4\left(6m+1\right)>0$

$4\left(m^2+2m+1\right)-24m-4>0$

$4m^2+8m+4-24m-4>0$

$4m^2-16m>0$

$4m\left(m-4\right)>0$

W celu rozwiązanie nierówności, rozwiążmy równanie pomocnicze:

$4m\left(m-4\right)=0$

$4m=0\vee m-4=0$

$m=0\vee m=4$

Naszkicujmy przybliżony wykres funkcji $y=4m\left(m-4\right)$.

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności. Będą to te $m$, dla których wartości funkcji są dodatnie, czyli wykres leży nad osią.

Zatem:

$m\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(4;+\infty \right)$

---

Aby pierwiastki $x_1$, $x_2$ funkcji $f$ były tego samego znaku, to musi zachodzić:

$x_1\cdot x_2>0$

Korzystając ze wzoru Viète'a na iloczyn pierwiastków równania kwadratowego, możemy zapisać:

$\frac{6m+1}{1}>0$

$6m+1>0|-1$

$6m>-1|:6$

$m>-\frac{1}{6}$

Zatem:

$m\in \left(-\frac{1}{6};+\infty \right)$

---

Chcemy, aby zachodził warunek:

$\left|x_1-x_2\right|<3$

Obie strony nierówności są dodatnie, ponieważ $x_1\ne x_2$, zatem możemy podnieść te nierówność obustronnie do kwadratu. Mamy:

${\left(x_1-x_2\right)}^2<9$

$x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2<9$

${\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2-2x_2{x}_2<9$

Korzystając ze wzorów Viète'a, możemy zapisać:

${\left(\frac{2\left(m+1\right)}{1}\right)}^2-4\cdot \left(\frac{6m+1}{1}\right)<9$

$4{\left(m+1\right)}^2-4\left(6m+1\right)<9$

$4\left(m^2+2m+1\right)-24m-4<9$

$4m^2+8m+4-24m-4<9|-9$

$4m^2-16m-9<0$

${\Delta }_m={\left(-16\right)}^2-4\cdot 4\cdot \left(-9\right)=256-144=400$

$\sqrt{{\Delta }_m}=20$

$m_{!}=\frac{16-20}{2\cdot 4}=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}$

$m_2-\frac{16+20}{2\cdot 4}=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}$

Naszkicujmy przybliżony wykres funkcji $y=4m^2-16m-9$.

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności. Będą to te $m$, dla których wartości funkcji są ujemne, czyli wykres leży pod osią.

Zatem:

$m\in \left(-\frac{1}{2};\frac{9}{2}\right)$

---

Zatem mamy, że:

$m\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(4;+\infty \right)$  oraz   $m\in \left(-\frac{1}{6};+\infty \right)$   oraz   $m\in \left(-\frac{1}{2};\frac{9}{2}\right)$

Zaznaczmy na osi na różowo pierwszy z przedziałów, na pomarańczowo drugi z przedziałów, natomiast na niebiesko trzeci z przedziałów.

Interesuje nas część wspólna zaznaczonych przedziałów.

Wobec tego warunki zadania są spełnione dla:

$\underline{\underline{m\in \left(-\frac{1}{6};0\right)\cup \left(4;\frac{9}{2}\right)}}$