Dane jest równanie z parametrem $m$:

$x^2+\left(m+1\right)x-2m-6=0$  dla  $m\in \mathbb{Z}$

Wyznaczmy pierwiastki tego równania:

$\Delta ={\left(m+1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2m-6\right)=m^2+2m+1+8m+24=m^2+10m+25$

$\Delta ={\left(m+5\right)}^2$

$\sqrt{\Delta }=\left|m+5\right|$

$x_1=\frac{-\left(m+1\right)-|m+5|}{2}$

$x_2=\frac{-\left(m+1\right)+|m+5|}{2}$ 

Zauważmy, że:

• Jeżeli $m$ jest liczbą parzystą, to $-\left(m+1\right)$  oraz  $\left|m+5\right|$ to liczby nieparzyste. Zatem liczniki $x_1$ oraz $x_2$ są parzyste, jako suma lub różnica dwóch liczb nieparzystych. Wobec tego $x_1\in \mathbb{Z}$ oraz $x_2\in \mathbb{Z}$.

• Jeżeli $m$ jest liczbą nieparzystą, to $-\left(m+1\right)$  oraz  $\left|m+5\right|$ to liczby parzyste. Zatem liczniki $x_1$ oraz $x_2$ są parzyste, jako suma lub różnica dwóch liczb parzystych. Wobec tego $x_1\in \mathbb{Z}$ oraz $x_2\in \mathbb{Z}$.

Wobec tego jeśli $m\in \mathbb{Z}$, to pierwiastki równania $x^2+\left(m+1\right)x-2m-6=0$ są liczbami całkowitymi, co należało uzasadnić.