Dana jest funkcja $f$ z parametrem $m$:

$f\left(x\right)=\left(m-4\right)x^2-4x+m-3$

Sprawdźmy, dla jakich wartości parametru $m$ jedno z miejsc zerowych funkcji $f$ jest mniejsze od $1$, a drugie większe od $1$.

---

Aby funkcja $f$ miała dwa miejsca zerowe, musi zajść:

$m-4\ne 0\wedge \Delta >0$

$m\ne 4\wedge \Delta >0$

${\left(-4\right)}^2-4\cdot \left(m-4\right)\cdot \left(m-3\right)>0$

$16-4\left(m^2-3m-4m+12\right)>0$

$16-4\left(m^2-7m+12\right)>0$

$16-4m^2+28m-48>0$

$-4m^2+28m+32>0|:\left(-4\right)$

Skoro dzielimy nierówność przez liczbę ujemną, to zmieniamy zwrot nierówności.

$m^2-7m+8<0$

W celu znalezienia rozwiązań nierówności, rozwiążmy równanie pomocnicze:

$m^2-7m+8=0$

${\Delta }_m={\left(-7\right)}^2-4\cdot 1\cdot 8=49-32=17$

$m_1=\frac{7-\sqrt{17}}{2}$

$m_2=\frac{7+\sqrt{17}}{2}$

Naszkicujmy przybliżony wykres funkcji $y=m^2-7m+8$.

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności. Będą to te $m$, dla których wartości funkcji są ujemne, czyli wykres leży pod osią.

Więc:

$m\in \left(\frac{7-\sqrt{17}}{2};\frac{7+\sqrt{17}}{2}\right)$

Zatem:

$m\ne 4$   oraz   $m\in \left(\frac{7-\sqrt{17}}{2};\frac{7+\sqrt{17}}{2}\right)$

Zatem funkcja ma dwa miejsca zerowe, gdy:

$m\in \left(\frac{7-\sqrt{17}}{2};\frac{7+\sqrt{17}}{2}\right)$

---

Sprawdźmy, dla jakich wartości parametru $m$ jedno z miejsc zerowych funkcji $f$ jest mniejsze od $1$, a drugie większe od $1$.

Rozważmy dwa przypadki.

PRZYPADEK 1

$m-4>0$

$m>4$

$m\in \left(4;+\infty \right)$

Zauważmy, że wykres funkcji $f$ jest wtedy parabolą z ramionami skierowanymi do góry.

Narysujmy poglądowy rysunek takiej sytuacji przy założeniu, że $x_1<x_2$.

Widzimy, że wtedy:

$f\left(1\right)<0$

$\left(m-4\right)\cdot 1^2-4\cdot 1+m-3<0$

$m-4-4+m-3<0$

$2m-11<0|+11$

$2m<11|:2$

$m<\frac{11}{2}$

Więc mamy:

$m\in \left(4;+\infty \right)$ oraz $m\in \left(-\infty ;\frac{11}{2}\right)$

Zaznaczmy na osi na różowo pierwszy z przedziałów, natomiast na pomarańczowo drugi z przedziałów.

Interesuje nas część wspólna zaznaczonych przedziałów.

Wobec tego:

$m\in \left(4;\frac{11}{2}\right)$

PRZYPADEK 2

$m-4<0$

$m<4$

$m\in \left(-\infty ;4\right)$

Zauważmy, że wykres funkcji $f$ jest wtedy parabolą z ramionami skierowanymi w dół.

Narysujmy poglądowy rysunek takiej sytuacji przy założeniu, że $x_1<x_2$.

Widzimy, że wtedy:

$f\left(1\right)>0$

$\left(m-4\right)\cdot 1^2-4\cdot 1+m-3>0$

$m-4-4+m-3>0$

$2m-11>0|+11$

$2m>11|:2$

$m>\frac{11}{2}$

Więc mamy:

$m\in \left(-\infty ;4\right)$ oraz $m\in \left(\frac{11}{2};+\infty \right)$

Zaznaczmy na osi na różowo pierwszy z przedziałów, natomiast na pomarańczowo drugi z przedziałów.

Interesuje nas część wspólna zaznaczonych przedziałów.

Zatem nie istnieje wartość $m<4$ spełniająca warunki zadania.

---

Zatem mamy:

$m\in \left(\frac{7-\sqrt{17}}{2};\frac{7+\sqrt{17}}{2}\right)$  oraz   $m\in \left(4;\frac{11}{2}\right)$

Interesuje nas część wspólna tych przedziałów.

Zauważmy, że:

$\frac{7-\sqrt{17}}{2}<\frac{7-\sqrt{16}}{2}=\frac{7-4}{2}=\frac{3}{2}<4$

$\frac{7+\sqrt{17}}{2}>\frac{7+\sqrt{16}}{2}=\frac{7+4}{2}=\frac{11}{2}$

Wobec tego:

$4\in \left(\frac{7-\sqrt{17}}{2};\frac{7+\sqrt{17}}{2}\right)$  oraz  $\frac{11}{2}\in \left(\frac{7-\sqrt{17}}{2};\frac{7+\sqrt{17}}{2}\right)$

Zatem przedział $\left(4;\frac{11}{2}\right)$ w pełni zawiera się w przedziale $\left(\frac{7-\sqrt{17}}{2};\frac{7+\sqrt{17}}{2}\right)$. Wobec tego częścią wspólną tych przedziałów będzie:

$\left(4;\frac{11}{2}\right)$

---

Zatem warunki zadania są spełnione dla:

$\underline{\underline{m\in \left(4;\frac{11}{2}\right)}}$