Zbiór wartości oraz monotoniczność funkcji kwadratowej Niech $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$,  będzie funkcją kwadratową, gdzie $a\ne 0$,  $b\in \mathbb{R}$,  $c\in \mathbb{R}$, a punkt $W=\left(p,q\right)$ wierzchołkiem paraboli będącej wykresem tej funkcji. Jeżeli $a>0$, to: Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left[q;+\infty \right)$. Funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $\left(-\infty ;p\right]$. Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $\left[p;+\infty \right)$. Jeżeli $a<0$, to: Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left(-\infty ;q\right]$. Funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $\left[p;+\infty \right)$. Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $\left(-\infty ;p\right]$.

---

a)

Funkcja $f$ zadana jest wzorem:

$f\left(x\right)=-2x^2+3$

Ze wzoru funkcji odczytujemy, że $a=-2$, zatem $a<0$.

Obliczmy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$. Mamy:

$p=-\frac{0}{2\cdot \left(-2\right)}=0$

$q=f\left(0\right)=-2\cdot 0^2+3=3$

Zatem mamy, że:

• Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left(-\infty ;3\right]$.
• Funkcja rośnie w przedziale $\left(-\infty ;0\right]$.
• Funkcja maleje w przedziale $\left[0;+\infty \right)$.

---

b)

Funkcja $f$ zadana jest wzorem:

$f\left(x\right)=5{\left(x-3\right)}^2$

Ze wzoru funkcji odczytujemy, że $a=5$, zatem $a>0$.

Zauważmy, że jest to wzór w postaci kanonicznej. Odczytujemy z niego, że:

$p=3$

$q=0$

Zatem mamy, że:

• Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left[0;+\infty \right)$.
• Funkcja rośnie w przedziale $\left[3;+\infty \right)$.
• Funkcja maleje w przedziale $\left(-\infty ;3\right]$.

---

c)

Funkcja $f$ zadana jest wzorem:

$f\left(x\right)=4{\left(x-2\right)}^2+3$

Ze wzoru funkcji odczytujemy, że $a=4$, zatem $a>0$.

Zauważmy, że jest to wzór w postaci kanonicznej. Odczytujemy z niego, że:

$p=2$

$q=3$

Zatem mamy, że:

• Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left[3;+\infty \right)$.
• Funkcja rośnie w przedziale $\left[2;+\infty \right)$.
• Funkcja maleje w przedziale $\left(-\infty ;2\right]$.

---

d)

Funkcja $f$ zadana jest wzorem:

$f\left(x\right)=-x^2+8x-15$

Ze wzoru funkcji odczytujemy, że $a=-1$, zatem $a<0$.

Obliczmy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$. Mamy:

$p=-\frac{8}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{8}{2}=4$

$q=f\left(4\right)=-4^2+8\cdot 4-15=-16+32-15=1$

Zatem mamy, że:

• Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left(-\infty ;1\right]$.
• Funkcja rośnie w przedziale $\left(-\infty ;4\right]$.
• Funkcja maleje w przedziale $\left[4;+\infty \right)$.