Dana jest funkcja $f$ określona wzorem:

$f\left(x\right)=-x^2+4x-3$

---

a)

Aby wyznaczyć miejsca zerowe funkcji $f$, rozwiążmy równanie:

$-x^2+4x-3=0$

$\Delta =4^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-3\right)=16-12=4$

$\sqrt{\Delta }=2$

$x_1=\frac{-4-2}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-6}{-2}=3$

$x_2=\frac{-4+2}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-2}{-2}=1$

Wobec tego miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $1$ oraz $3$.

---

b)

Znajdźmy punkt przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią $OY$.

Będzie to punkt o współrzędnych $\left(0,f\left(0\right)\right)$.

Obliczmy drugą współrzędną tego punktu:

$f\left(0\right)=-0^2+4\cdot 0-3=-3$

Wobec tego punktem przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią $OY$ jest:

$\underline{\underline{\left(0,-3\right)}}$

---

c)

Obliczmy współrzędne punktu $\left(p,q\right)$, czyli wierzchołka paraboli będącej wykresem $f$.

Przypomnijmy, że parabola posiada oś symetrii o równaniu $x=p$.

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będzie zatem średnią arytmetyczną jej miejsc zerowych, zatem mamy:

$p=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{1+3}{2}=2$

Obliczmy drugą współrzędną tego punktu, wstawiając $x=2$ do wzoru funkcji $f$. Mamy:

$f\left(2\right)=-2^2+4\cdot 2-3=-4+8-3=1$

Zatem wierzchołek paraboli ma współrzędne:

$\underline{\underline{\left(2,1\right)}}$

---

d)

Korzystając z podpunktów a), b) oraz c), narysujemy wykres funkcji $f$.

Zaznaczmy wyznaczone w tych podpunktach miejsca zerowe, wierzchołek paraboli oraz przecięcie z osią $OY$, a następnie szkicujemy wykres funkcji $f$.