Niech:

$x$ - długość jednego boku rozważanych prostokątów, $x>0$

$y$ - długość drugiego boku rozważanych prostokątów, $y>0$

Wiemy, że:

$x+3y=36$

Wobec tego:

$x=36-3y$

Zapiszmy funkcję opisującą pole prostokątów o tak zadanych bokach. Będzie to:

$P\left(y\right)=y\cdot \left(36-3y\right)$

$P\left(y\right)=36y-3y^2$

$P\left(y\right)=-3y^2+36y$  

---

Wyznaczmy dziedzinę tej funkcji.  Wiemy, że $x>0$ oraz $y>0$, zatem:

$36-3y>0|+3y$

$36>3y|:3$

$12>y$

$y<12$

Wobec tego:

$P\left(y\right)=-3y^2+36y$  dla  $y\in \left(0;12\right)$ 

---

Szukamy takiego prostokąta, którego pole będzie największe. 

Ta funkcja jest funkcją kwadratową. Posiada wartość największą, ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny.

Zatem szukamy pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji $P$. Mamy zatem:

$p=-\frac{36}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{36}{6}=6\in \left(0;12\right)$

Zatem mamy, że

$y=6$

Wtedy:

$x=36-3\cdot y=36-3\cdot 6=36-18=18$

Wobec tego prostokątem o największym polu będzie prostokąt o bokach $18$ i $6$.