Dane jest równanie z parametrami $a$ oraz $b$:

$a^2\left(x-1\right)-ab=b^2\left(x+1\right)+ab$

Rozwiążmy to równanie w zależności od wartości parametrów:

$a^{2}x-a^2-ab=b^{2}x+b^2+ab|-b^{2}x$

$a^{2}x-b^{2}x-a^2-ab=b^2+ab|+a^2+ab$

$a^{2}x-b^{2}x=a^2+2ab+b^2$

$x\left(a^2-b^2\right)={\left(a+b\right)}^2$

$x\left(a-b\right)\left(a+b\right)={\left(a+b\right)}^2$

Rozważmy trzy przypadki.

---

Jeżeli $a=b$, otrzymujemy:

$x\left(a-a\right)\left(a+a\right)={\left(a+a\right)}^2$

$0={\left(2a^{}\right)}^2$

$2a=0$

$a=0$

Zatem jeśli $a=b=0$ , to wyjściowe równanie spełnia każda liczba rzeczywista $x$, natomiast jeśli $a=b$, ale $a\ne 0$, to równanie jest sprzeczne.

---

Jeśli $a=-b$, otrzymujemy:

$x\left(-b-b\right)\left(-b+b\right)={\left(-b+b\right)}^2$

$0=0$

Zatem dla $a=-b=0$ wyjściowe równanie spełnia każda liczba rzeczywista $x$.

---

Jeśli $a\ne b$ oraz $a\ne -b$, czyli $\left(a-b\right)\left(a+b\right)\ne 0$, otrzymujemy: 

$x\left(a-b\right)\left(a+b\right)={\left(a+b\right)}^2|:\left(a-b\right)\left(a+b\right)$

$x=\frac{{\left(a+b\right)}^2}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}$

$x=\frac{a+b}{a-b}$

Zatem dla $a=b$ oraz $a\ne -b$ wyjściowe równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

---

Ostatecznie otrzymujemy, że:

•  równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, równe $x=\frac{a+b}{a-b}$, gdy $a\ne b$ oraz $a\ne -b$,
• równanie jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą $x$, gdy $a=b=0$, 
• równanie nie ma rozwiązań, gdy $a=-b$ oraz $a\ne 0$.