Rozwiąż układ równań...- Zadanie 4.19: Matura z matematyki 2023-2024. Poziom podstawowy i rozszerzony. Część I

Rozwiązanie

Dany jest układ równań:

${∣2 x + y ∣ = 1 y + x = 2$

Rozwiążmy ten układ równań stosując metodę podstawiania:

${∣ x + x + y ∣ = 1 x + y = 2$

${∣ x + 2∣ = 1 x + y = 2$

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej, otrzymujemy:

${x + 2 = 1 x + y = 2 \lor {x + 2 = - 1 x + y = 2$

${x = - 1 x + y = 2 \lor {x = - 3 x + y = 2$

${x = - 1 - 1 + y = 2 \lor {x = - 3 - 3 + y = 2$

${x = - 1 y = 3 \lor {x = - 3 y = 5$

Zatem układ równań spełniony jest przez dwie pary liczb $(- 1, 3)$ oraz $(- 3, 5)$ .

Dany jest układ równań:

${2 x - y + 4 = 0 y + 1 = ∣ x - 2∣$

Rozpatrzmy dwa przypadki.

Dla $x < 2$ , czyli $x \in (- \infty; 2)$ , otrzymujemy:

${2 x - y + 4 = 0 y + 1 = - (x - 2)$

Rozwiążmy układ równań metodą podstawiania.

${2 x - y + 4 = 0 y + 1 = - x + 2 ∣ - 1$

${2 x - y + 4 = 0 y = - x + 1$

${2 x - (- x + 1) + 4 = 0 y = - x + 1$

${2 x + x - 1 + 4 = 0 y = - x + 1$

${3 x + 3 = 0 ∣ - 3 y = - x + 1$

${3 x = - 3 ∣ : 3 y = - x + 1$

${x = - 1 y = - x + 1$

${x = - 1 y = - (- 1) + 1$

${x = - 1 y = 1 + 1$

${x = - 1 y = 2$

Zauważmy, że $- 1 \in (- \infty; 2)$ . Zatem para $(x, y) = (- 1, 2)$ jest rozwiązaniem układu równań.

Dla $x ⩾ 2$ , czyli $x \in [2; + \infty)$ , otrzymujemy:

${2 x - y + 4 = 0 y + 1 = x - 2 ∣ - 1$

Rozwiążmy układ równań metodą podstawiania.

${2 x - y + 4 = 0 y + 1 = x - 2 ∣ - 1$

${2 x - y + 4 = 0 y = x - 3$

${2 x - (x - 3) + 4 = 0 y = x - 3$

${2 x - x + 3 + 4 = 0 y = x - 3$

${x + 7 = 0 ∣ - 7 y = x - 3$

${x = - 7 y = x - 3$

Zauważmy, że $- 7 \in / [2; + \infty)$ . Zatem na tym przedziale wyjściowy układ równań nie ma rozwiązań.

Ostatecznie otrzymujemy, że układ jest spełniony przez parę liczb $(x, y) = (- 1, 2)$ .

Dany jest układ równań:

${∣ x ∣ - y = 2 x - ∣ y ∣ = 0$

Rozpatrzmy cztery przypadki.

Dla $x < 0$ oraz $y < 0$ , czyli $x \in (- \infty; 0)$ oraz $y \in (- \infty; 0)$ , otrzymujemy:

${- x - y = 2 x - (- y) = 0$

${- x - y = 2 x + y = 0$

Rozwiążmy układ równań metodą przeciwnych współczynników.

$\underline{+ {- x - y = 2 x + y = 0} Sprzeczno \overset{s}{ˊ} \overset{c}{ˊ}! 0 = 2$

Zatem dla $x \in (- \infty; 0)$ oraz $y \in (- \infty; 0)$ wyjściowy układ równań nie posiada rozwiązania.

Dla $x ⩾ 0$ oraz $y < 0$ , czyli $x \in [0; + \infty)$ oraz $y \in (- \infty; 0)$ , otrzymujemy:

${x - y = 2 x - (- y) = 0$

${x - y = 2 x + y = 0$

Rozwiążmy układ równań metodą przeciwnych współczynników.

$\underline{+ {x - y = 2 x + y = 0} 2 x = 2 ∣ : 2 x = 1$

${x - y = 2 x = 1$

${1 - y = 2 ∣ - 1 x = 1$

${- y = 1 ∣ \cdot (- 1) x = 1$

${y = - 1 \in (- \infty; 0) x = 1 \in [0; + \infty)$

Zatem para $(x, y) = (1, - 1)$ jest rozwiązaniem układu równań.

Dla $x < 0$ oraz $y ⩾ 0$ , czyli $x \in (- \infty; 0)$ oraz $y \in [0; + \infty)$ , otrzymujemy:

${- x - y = 2 x - y = 0$

Rozwiążmy układ równań metodą przeciwnych współczynników.

$\underline{+ {- x - y = 2 x - y = 0} - 2 y = 2 ∣ : (- 2) y = - 1 \in / [0; + \infty)$

Zatem dla $x \in (- \infty; 0)$ oraz $y \in [0; + \infty)$ wyjściowy układ równań nie posiada rozwiązania.

Dla $x ⩾ 0$ oraz $y ⩾ 0$ , czyli $x \in [0; + \infty)$ oraz $y \in [0; + \infty)$ , otrzymujemy:

${x - y = 2 x - y = 0$

Rozwiążmy układ równań metodą przeciwnych współczynników.

${x - y = 2 x - y = 0 ∣ \cdot (- 1)$

$\underline{+ {x - y = 2 - x - y = 0} Sprzeczno \overset{s}{ˊ} \overset{c}{ˊ}! 0 = 2$

Zatem dla $x \in [0; + \infty)$ oraz $y \in [0; + \infty)$ wyjściowy układ równań nie posiada rozwiązania.

Ostatecznie otrzymujemy, że układ jest spełniony przez parę liczb $(x, y) = (1, - 1)$ .

Dany jest układ równań:

${∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 3 2 x - y = 3$

Rozpatrzmy cztery przypadki.

Dla $x < 0$ oraz $y < 0$ , czyli $x \in (- \infty; 0)$ oraz $y \in (- \infty; 0)$ , otrzymujemy:

${- x - y = 3 2 x - y = 3$

Rozwiążmy układ równań metodą przeciwnych współczynników.

${- x - y = 3 ∣ \cdot (- 1) 2 x - y = 3$

$\underline{+ {x + y = - 3 2 x - y = 3} 3 x = 0 ∣ : 3 x = 0 \in / (- \infty; 0)$

Zatem dla $x \in (- \infty; 0)$ oraz $y \in (- \infty; 0)$ wyjściowy układ równań nie posiada rozwiązania.

Dla $x ⩾ 0$ oraz $y < 0$ , czyli $x \in [0; + \infty)$ oraz $(- \infty; 0)$ , otrzymujemy:

${x - y = 3 2 x - y = 3$

Rozwiążmy układ równań metodą przeciwnych współczynników.

${x - y = 3 ∣ \cdot (- 1) 2 x - y = 3$

$\underline{+ {- x + y = - 3 2 x - y = 3} x = 0$

${x = 0 - x + y = - 3$

${x = 0 \in [0; + \infty) y = - 3 \in (- \infty; 0)$

Zatem para $(x, y) = (0, - 3)$ jest rozwiązaniem wyjściowego układu równań.

Dla $x < 0$ oraz $y ⩾ 0$ , czyli $x \in (- \infty; 0)$ oraz $y \in [0; + \infty)$ , otrzymujemy:

${- x + y = 3 2 x - y = 3$

Rozwiążmy układ równań metodą przeciwnych współczynników.

$\underline{+ {- x + y = 3 2 x - y = 3} x = 6 \in / (- \infty; 0)$

Zatem dla $x \in (- \infty; 0)$ oraz $y \in [0; + \infty)$ wyjściowy układ równań nie posiada rozwiązania.

Dla $x ⩾ 0$ oraz $y ⩾ 0$ , czyli $x \in [0; + \infty)$ oraz $y \in [0; + \infty)$ , otrzymujemy:

${x + y = 3 2 x - y = 3$

Rozwiążmy układ równań metodą przeciwnych współczynników.

$\underline{+ {x + y = 3 2 x - y = 3} 3 x = 6 ∣ : 3 x = 2$

${x = 2 2 x - y = 3$

${x = 2 2 \cdot 2 - y = 3$

${x = 2 4 - y = 3 ∣ - 4$

${x = 2 - y = - 1 ∣ \cdot (- 1)$

${x = 2 \in [0; + \infty) y = 1 \in [0; + \infty)$

Zatem para $(x, y) = (2, 1)$ jest rozwiązaniem wyjściowego układu równań.

Ostatecznie otrzymujemy, że układ jest spełniony przez pary liczb $(x, y) = (0, - 3)$ oraz $(x, y) = (2, 1)$

Katarzyna Nowocień

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Zadania tekstowe z układami równań (1)

Premium

11:09

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Zadania tekstowe z układami równań (2)

Premium

12:58

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Podstawowe pojęcia dotyczące równań

Premium

10:01

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.