Dana jest nierówność:

$\frac{2x}{x^2-3}+{\left(\frac{2x}{x^2-3}\right)}^2+\cdots +{\left(\frac{2x}{x^2-3}\right)}^n⩽0$

Lewa strona tej nierówności to szereg geometryczny zbieżny, gdzie $a_1=\frac{2x}{x^2-3}$ oraz $q=\frac{2x}{x^2-3}$. Zatem, z warunku zbieżności szeregu, mamy:

$-1<q<1$

$-1<\frac{2x}{x^2-3}<1$

---

Rozwiążmy pierwszą z nierówności:

$-1<\frac{2x}{x^2-3}|+1$

$0<\frac{2x}{x^2-3}+1$

$0<\frac{2x}{x^2-3}+\frac{x^2-3}{x^2-3}$

$0<\frac{x^2+2x-3}{x^2-3}$

$0<\frac{x^2-x+3x-3}{x^2-3}$

$0<\frac{x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)}{x^2-3}$

$0<\frac{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)}$

$\frac{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)}>0$

Iloraz dwóch liczb ma ten sam znak, co ich iloczyn, zatem powyższa nierówność dla $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{-\sqrt{3};\sqrt{3}\right\}$ jest równoważna nierówności:

$\left(x+3\right)\left(x-1\right)\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)>0$

W celu rozwiązania nierówności rozwiążmy równanie pomocnicze:

$\left(x+3\right)\left(x-1\right)\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)=0$

$x+3=0\vee x-1=0\vee x-\sqrt{3}=0\vee x+\sqrt{3}=0$

$x=-3\vee x=1\vee x=\sqrt{3}\vee x=-\sqrt{3}$

Narysujmy przybliżony wykres funkcji $y=\left(x+3\right)\left(x-1\right)\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)$ dla $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{-\sqrt{3};\sqrt{3}\right\}$:

Z rysunku odczytujemy rozwiązania nierówności - czyli takie $x$, dla których wartości tej funkcji są dodatnie (wykres znajduje się ponad osią poziomą).

Mamy:

$x\in \left(-\infty ;-3\right)\cup \left(-\sqrt{3};1\right)\cup \left(\sqrt{3};+\infty \right)$

---

Rozwiążmy drugą z nierówności:

$\frac{2x}{x^2-3}<1|-1$

$\frac{2x}{x^2-3}-1<0$

$\frac{2x}{x^2-3}-\frac{x^2-3}{x^2-3}<0$

$\frac{2x-\left(x^2-3\right)}{x^2-3}<0$

$\frac{2x-x^2+3}{x^2-3}<0$

$\frac{-x^2+2x+3}{x^2-3}<0$

$\frac{-x^2-x+3x+3}{x^2-3}<0$

$\frac{-x\left(x+1\right)+3\left(x+1\right)}{x^2-3}<0$

$\frac{\left(x+1\right)\left(-x+3\right)}{x^2-3}<0|\cdot \left(-1\right)$

$\frac{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}{x^2-3}<0$

Iloraz dwóch liczb ma ten sam znak, co ich iloczyn, zatem powyższa nierówność dla $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{-\sqrt{3};\sqrt{3}\right\}$ jest równoważna nierówności:

$\left(x+1\right)\left(x-3\right)\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)>0$

W celu rozwiązania nierówności rozwiążmy równanie pomocnicze:

$\left(x+1\right)\left(x-3\right)\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)=0$

$x+1=0\vee x-3=0\vee x-\sqrt{3}=0\vee x+\sqrt{3}=0$

$x=-1\vee x=3\vee x=\sqrt{3}\vee x=-\sqrt{3}$

Narysujmy przybliżony wykres funkcji $y=\left(x+1\right)\left(x-3\right)\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)$ dla $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{-\sqrt{3};\sqrt{3}\right\}$:

Z rysunku odczytujemy rozwiązania nierówności - czyli takie $x$, dla których wartości tej funkcji są dodatnie (wykres znajduje się ponad osią poziomą).

Mamy:

$x\in \left(-\infty ;-\sqrt{3}\right)\cup \left(-1;\sqrt{3}\right)\cup \left(3;+\infty \right)$

---

Mamy zatem, że 

$x\in \left(-\infty ;-3\right)\cup \left(-\sqrt{3};1\right)\cup \left(\sqrt{3};+\infty \right)$ oraz $x\in \left(-\infty ;-\sqrt{3}\right)\cup \left(-1;\sqrt{3}\right)\cup \left(3;+\infty \right)$

A więc ostatecznie:

$x\in \left(-\infty ;-3\right)\cup \left(-1;1\right)\cup \left(3;+\infty \right)$

---

Rozwiążmy podaną nierówność:

$\frac{2x}{x^2-3}+{\left(\frac{2x}{x^2-3}\right)}^2+\cdots +{\left(\frac{2x}{x^2-3}\right)}^n⩽0$ 

Lewa strona tej nierówności to szereg geometryczny zbieżny, gdzie $a_1=\frac{2x}{x^2-3}$ oraz $q=\frac{2x}{x^2-3}$. Zatem:

$\frac{2x}{x^2-3}\cdot \frac{1}{1-\frac{2x}{x^2-3}}⩽0$

$\frac{2x}{x^2-3}\cdot \frac{1}{\frac{x^2-3-2x}{x^2-3}}⩽0$

$\frac{2x}{x^2-3}\cdot \frac{x^2-3}{x^2-2x-3}⩽0$

$\frac{2x}{x^2-2x-3}⩽0$

$\frac{2x}{\left(x^2+x-3x-3\right)}⩽0$

$\frac{2x}{x\left(x+1\right)-3\left(x+1\right)}⩽0$

$\frac{2x}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}⩽0$

Iloraz dwóch liczb ma ten sam znak, co ich iloczyn, zatem powyższa nierówność dla $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{-1;3\right\}$ jest równoważna nierówności:

$2x\left(x+1\right)\left(x-3\right)⩽0$

W celu rozwiązania nierówności rozwiążmy równanie pomocnicze:

$2x\left(x+1\right)\left(x-3\right)=0$

$2x=0\vee x+1=0\vee x-3=0$

$x=0\vee x=-1\vee x=3$

Narysujmy przybliżony wykres funkcji $y=2x\left(x+1\right)\left(x-3\right)$ dla $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{-1;3\right\}$:

Z rysunku odczytujemy rozwiązania nierówności - czyli takie $x$, dla których wartości tej funkcji są niedodatnie (wykres znajduje się ponad osią poziomą lub na niej).

Mamy:

$x\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left[0;3\right)$

---

Zatem mamy:

$x\in \left(-\infty ;-3\right)\cup \left(-1;1\right)\cup \left(3;+\infty \right)$  oraz  $x\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left[0;3\right)$

A więc ostatecznie otrzymujemy:

$\underline{\underline{x\in \left(-\infty -3\right)\cup \left[0;1\right)}}$