Dany jest ciąg geometryczny $\left(a_n\right)$ o dodatnich wyrazach. Wtedy wzór na jego wyraz ogólny to:

$a_n=a_1{q}^{n-1}$

dla $n\in \mathbb{N}$ i $n⩾1$ oraz $a_1>0$ i $q>0$.

Rozważmy ciąg $\left(b_n\right)$ określony wzorem:

$b_n=\log a_n$

Pokażmy, że $\left(b_n\right)$ jest ciągiem arytmetycznym. W tym celu rozważmy różnicę jego dwóch kolejnych wyrazów $b_k$ i $b_{k+1}$, gdzie $k\in \mathbb{N}$ i $k⩾1$. Mamy:

$b_{k+1}-b_k=\log a_{k+1}-\log a_k=\log \frac{a_{k+1}}{a_k}=\log \frac{a_1{q}^k}{a_1{q}^{k-1}}=\log \frac{\cancel{a_1}\cancel{q^{k-1}}\cdot q}{\cancel{a_1}\cancel{q^{k-1}}}=\log q$

Liczba $q$ jest stała, zatem również liczba $\log q$ jest stała. Wobec tego otrzymaliśmy, że różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu $\left(b_n\right)$ jest stała, zatem ten ciąg jest ciągiem arytmetycznym, co należało wykazać.