Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=\frac{x}{x-2}+\frac{x}{{\left(x-2\right)}^2}+\frac{x}{{\left(x-2\right)}^3}+\cdots$

Wiemy, że:

$\frac{x}{x-2}+\frac{x}{{\left(x-2\right)}^2}+\frac{x}{{\left(x-2\right)}^3}+\cdots$

to szereg geometryczny zbieżny. Zatem, z warunku zbieżności szeregu, mamy:

$-1<\frac{1}{x-2}<1$

---

Rozwiążmy pierwszą z nierówności:

$-1<\frac{1}{x-2}|+1$

$0<\frac{1}{x-2}+1$

$0<\frac{1}{x-2}+\frac{x-2}{x-2}$

$0<\frac{x-1}{x-2}$

$\frac{x-1}{x-2}>0$

Iloraz dwóch liczb ma ten sam znak, co ich iloczyn, zatem dla $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{2\right\}$ powyższa nierówność jest równoważna nierówności:

$\left(x-1\right)\left(x-2\right)>0$

W celu rozwiązania nierówności rozwiążmy równanie pomocnicze:

$\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0$

$x-1=0\vee x-2=0$

$x=1\vee x=2$

Narysujmy przybliżony wykres funkcji $y=\left(x-1\right)\left(x-2\right)$ dla $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{2\right\}$:

Z rysunku odczytujemy rozwiązania nierówności - czyli takie $x$, dla których wartości tej funkcji są dodatnie (wykres znajduje się ponad osią poziomą).

Mamy:

$x\in \left(-\infty ;1\right)\cup \left(2;+\infty \right)$

---

Rozwiążmy drugą nierówność:

$\frac{1}{x-2}<1|-1$

$\frac{1}{x-2}-1<0$

$\frac{1}{x-2}-\frac{x-2}{x-2}<0$

$\frac{1-x+2}{x-2}<0$

$\frac{-x+3}{x-2}<0|\cdot \left(-1\right)$

$\frac{x-3}{x-2}>0$

Iloraz dwóch liczb ma ten sam znak, co ich iloczyn, zatem dla $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{2\right\}$ powyższa nierówność jest równoważna nierówności:

$\left(x-3\right)\left(x-2\right)>0$

W celu rozwiązania nierówności rozwiążmy równanie pomocnicze:

$\left(x-3\right)\left(x-2\right)=0$

$x-3=0\vee x-2=0$

$x=3\vee x=2$

Narysujmy przybliżony wykres funkcji $y=\left(x-3\right)\left(x-2\right)$ dla $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{2\right\}$:

Z rysunku odczytujemy rozwiązania nierówności - czyli takie $x$, dla których wartości tej funkcji są dodatnie (wykres znajduje się ponad osią poziomą).

Mamy:

$x\in \left(-\infty ;2\right)\cup \left(3;+\infty \right)$

---

Zatem mamy, że:

$x\in \left(-\infty ;1\right)\cup \left(2;+\infty \right)$  oraz  $x\in \left(-\infty ;2\right)\cup \left(3;+\infty \right)$

Zaznaczmy te przedziały na osi. Pierwszy z nich zaznaczmy kolorem czerwonym, a drugi z nich kolorem pomarańczowym:

Interesują nas liczby, które należą do części wspólnej zaznaczonych przedziałów.

Z rysunku odczytujemy, że są to:

$x\in \left(-\infty ;1\right)\cup \left(3;+\infty \right)$

---

Zapiszmy w prostszej postaci wzór funkcji $f$ korzystając z faktu, że:

$\frac{x}{x-2}+\frac{x}{{\left(x-2\right)}^2}+\frac{x}{{\left(x-2\right)}^3}+\cdots$

to szereg geometryczny zbieżny. Mamy:

$f\left(x\right)=\frac{x}{x-2}+\frac{x}{{\left(x-2\right)}^2}+\frac{x}{{\left(x-2\right)}^3}+\cdots =$

$=\frac{x}{x-2}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{x-2}}=\frac{x}{x-2}\cdot \frac{1}{\frac{x-2}{x-2}-\frac{1}{x-2}}=\frac{x}{x-2}\cdot \frac{x-2}{x-3}=$

$=\frac{x}{x-3}=\frac{x-3+3}{x-3}=1+\frac{3}{x-3}$

Zatem:

$f\left(x\right)=1+\frac{3}{x-3}\text{dla}x\in \left(-\infty ;1\right)\cup \left(3;+\infty \right)$

Naszkicujmy wykres tej funkcji dla podanej dziedziny:

Z wykresu odczytujemy, że zbiorem wartości funkcji $f$ jest zbiór:

$\underline{\underline{\left(-\frac{1}{2};1\right)\cup \left(1;+\infty \right)}}$