Twierdzenie Talesa

Dane są dwie proste $p$ i $r$, które przecinają się w punkcie $O$. Jeśli dwie proste równoległe
$k$ i $l$ przecinają prostą $p$ w punktach $A$, $B$, a prostą $r$ w punktach $C$, $D$, które różne są od punktu $O$, to zachodzą równości:
$\frac{\left|OA\right|}{\left|OB\right|}=\frac{\left|OC\right|}{\left|OD\right|}$    i    $\frac{\left|OA\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\left|OC\right|}{\left|CD\right|}$

rys.

Korzystając z twierdzenia Talesa możemy wnioskować, że zachodzi również np. następująca równość stosunków:
$\frac{\left|AC\right|}{\left|BD\right|}=\frac{\left|OA\right|}{\left|OB\right|}$

Przykład 1. Oblicz $x$, wykorzystując dane podane na rysunku.

a) rys.

Rozwiązanie

Sposób I

$\frac{\left|OA\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\left|OC\right|}{\left|CD\right|}$

$\frac{9}{x}=\frac{12}{4}$

$12x=36$

$x=\frac{36}{12}=3$

Sposób II

$\frac{\left|OA\right|}{\left|OB\right|}=\frac{\left|OC\right|}{\left|OD\right|}$

$\frac{9}{9+x}=\frac{12}{12+4}$

$\frac{9}{9+x}=\frac{12}{16}$

$9\cdot 16=12\left(9+x\right)$

$144=12\left(9+x_{}\right)\text{|}:12$

$12=9+x$

$12-9=x$

$x=3$

Uwaga: Prawidłową równością jest również np.:

$\frac{\left|OD\right|}{\left|OC\right|}=\frac{\left|OB\right|}{\left|OA\right|}$  lub  $\frac{\left|OA\right|}{\left|OC\right|}=\frac{\left|OB\right|}{\left|OD\right|}$

b) rys.

Rozwiązanie

$\frac{\left|AC\right|}{\left|BD\right|}=\frac{\left|OA\right|}{\left|OB\right|}$

$\frac{5}{x}=\frac{2}{5}$

$25=2x$

$x=\frac{25}{2}=12\frac{1}{2}$

---

(W zadaniu numer 1 na rysunku podany jest trójkąt ABC. Punkt D leży na boku AB, a punkt E leży na boku BC. Odcinek DE jest równoległy do boku AC oraz podane są długości AD, DB i BC. Musimy znaleźć długość odcinka DE. )

Zadanie 1. Na poniższym rysunku dany jest trójkąt $ABC$. Punkt $D$ leży na boku $AB$, natomiast punkt $E$ leży na boku $BC$. Ponadto odcinek $DE$ jest równoległy do boku $AC$ oraz $\left|AD\right|=40$, $\left|DB\right|=10$  i $\left|BC\right|=80$.

rys.

Wskaż poprawne dokończenie poniższego zdania spośród podanych.

Długość odcinka $DE$ wynosi

A. $64$                           B. $320$                        C. $50$                        D. $25$

Rozwiązanie

Korzystając z twierdzenia Talesa mamy:

$\frac{\left|ED\right|}{\left|CB\right|}=\frac{\left|AD\right|}{\left|AB\right|}$

$\frac{x}{80}=\frac{40}{50}$

$50x=40\cdot 80$

$50x=3200$

$x=\frac{3200}{50}=\frac{320}{5}=64$

---

Zadanie 2. Proste $p$ i $r$ przecinają się w punkcie $P$. Proste $k$, $l$, $m$ przecinają prostą $p$  w pu7nktach kolejno: $A$, $B$, $C$ i prostą $r$ kolejno w punktach: $D$, $E$, $F$. Dodatkowo proste $k$, $l$ i $m$ są do siebie równoległe oraz $\left|AB\right|=10$, $\left|BC\right|=35$, $\left|PD\right|=32$ i $\left|EF\right|=56$.

rys.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe lub F - jeśli jest fałszywe.

Długość odcinka $DE$ to $16$.	P	F
Długość odcinka $PA$ jest o $2$ większa od długości odcinka $AB$.	P	F

Rozwiązanie

Zdanie pierwsze

Korzystając z twierdzenia Talesa mamy:

$\frac{\left|AB\right|}{\left|BC\right|}=\frac{\left|DE\right|}{\left|EF\right|}$

$\frac{10}{35}=\frac{x}{56}$

$10\cdot 56=35\cdot x$

$560=35x\text{|}:35$

$x=16$

Zdanie jest prawdziwe.

Zdanie drugie

Korzystając z twierdzenia Talesa mamy:

$\frac{\left|PA\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\left|PD\right|}{\left|DE\right|}$

$\frac{y}{32}=\frac{10}{16}$

$16\cdot y=10\cdot 32\text{|}:16$

$y=10\cdot 2$

$y=20$

$y=10$

Długość odcinka $PA$ jest $\text{2}$ razy większa od długości odcinka $AB$.

Zdanie jest fałszywe.

---

Zadanie 3. Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$. Jego przekątne $AC$ i $BD$przecinają się w punkcie $P$ (zobacz rysunek poniżej) w taki sposób, że $\frac{\left|AP\right|}{\left|PC\right|}=\frac{5}{3}$.

Oblicz długość odcinka $DC$, jeśli wiadomo, że $\left|AB\right|=25$.

 

 

 

 

Rozwiązanie

Rozwiązanie

$AB\parallel DC$

Korzystając z twierdzenia Talesa mamy:

$\frac{\left|AP\right|}{\left|PC\right|}=\frac{\left|AB\right|}{\left|DC\right|}=\frac{5}{3}$

$\frac{25}{\left|DC\right|}=\frac{5}{3}$

$25\cdot 3=5\cdot \left|DC\right|\text{|}:5$

$5\cdot 3=\left|DC\right|$

$\left|DC\right|=15$

 Odp.: Długość odcinka $DC$ to $15$.