Twierdzenie Talesa

Dane są dwie proste i , które przecinają się w punkcie . Jeśli dwie proste równoległe
i przecinają prostą w punktach , , a prostą w punktach , , które różne są od punktu , to zachodzą równości:
i

rys.

Korzystając z twierdzenia Talesa możemy wnioskować, że zachodzi również np. następująca równość stosunków:

Przykład 1. Oblicz , wykorzystując dane podane na rysunku.

a) rys.

Rozwiązanie

Sposób I

Sposób II

Uwaga: Prawidłową równością jest również np.:

lub

b) rys.

Rozwiązanie

(W zadaniu numer 1 na rysunku podany jest trójkąt ABC. Punkt D leży na boku AB, a punkt E leży na boku BC. Odcinek DE jest równoległy do boku AC oraz podane są długości AD, DB i BC. Musimy znaleźć długość odcinka DE. )

Zadanie 1. Na poniższym rysunku dany jest trójkąt . Punkt leży na boku , natomiast punkt leży na boku . Ponadto odcinek jest równoległy do boku oraz , i .

rys.

Wskaż poprawne dokończenie poniższego zdania spośród podanych.

Długość odcinka wynosi

A. B. C. D.

Rozwiązanie

Korzystając z twierdzenia Talesa mamy:

Zadanie 2. Proste i przecinają się w punkcie . Proste , , przecinają prostą w pu7nktach kolejno: , , i prostą kolejno w punktach: , , . Dodatkowo proste , i są do siebie równoległe oraz , , i .

rys.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe lub F - jeśli jest fałszywe.

Długość odcinka to .	P	F
Długość odcinka jest o większa od długości odcinka .	P	F

Rozwiązanie

Zdanie pierwsze

Korzystając z twierdzenia Talesa mamy:

Zdanie jest prawdziwe.

Zdanie drugie

Korzystając z twierdzenia Talesa mamy:

Długość odcinka jest razy większa od długości odcinka .

Zdanie jest fałszywe.

Zadanie 3. Dany jest trapez o podstawach i . Jego przekątne i przecinają się w punkcie (zobacz rysunek poniżej) w taki sposób, że .

Oblicz długość odcinka , jeśli wiadomo, że .

Rozwiązanie

Rozwiązanie

Korzystając z twierdzenia Talesa mamy:

Odp.: Długość odcinka to .