(W poprzednich lekcjach wykonywaliśmy działania tylko na potęgach o wykładnikach całkowitych. Przedstawimy teraz definicję potęgi, której wykładnikiem jest dowolna liczba wymierna.)

Definicja

Potęgą o wykładniku wymiernym $\frac{1}{n}$, gdzie $n\in {\mathbb{N}}_{+}$ i podstawie $a>0$ nazywamy liczbę

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

(Definicję tą możemy rozszerzyć w następujący sposób)

Definicja

Jeżeli $a>0$, $m\in \mathbb{Z}$, $n\in \mathbb{N}$ i $n>1$, to przyjmujemy

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

(Jak widzimy, definicja ta łączy nam potęgowanie z pierwiastkowaniem, co na pewno będzie przydatne w rozwiązywaniu zadań maturalnych. )

Zauważmy jeszcze, że podstawą potęgi o wykładniku wymiernym musi być liczba dodatnia. 

Prawa działań na potęgach o wykładniku wymiernym są analogiczne do poznanych już praw działań na potęgach o wykładniku całkowitym.

 

 

Własności działań na potęgach

Niech $r\in \mathbb{Q}$ i $s\in \mathbb{Q}$. Dla liczb $a>0$ i $b>0$ mamy:

1. $a^r\cdot a^s=a^{r+s}$
2. ${\left(a^r\right)}^s=a^{r\cdot s}$
3. $\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$
4. ${\left(a\cdot b\right)}^r=a^r\cdot b^r$
5. ${\left(\frac{a}{b}\right)}^r=\frac{a^r}{b^r}$

f

 

 

 

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia ${\left(7+8\cdot 4^{-1}\right)}^{-\frac{1}{2}}$ jest równa

A.  $23$                    B.  $5$                    C.  $\frac{1}{3}$                    D.  $3$

Rozwiązanie

${\left(7+8\cdot 4^{-1}\right)}^{-\frac{1}{2}}={\left(7+8\cdot \frac{1}{4}\right)}^{-\frac{1}{2}}={\left(7+2\right)}^{-\frac{1}{2}}=9^{-\frac{1}{2}}={\left(\frac{1}{9}\right)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$

Odp. C

---

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $5^{4+\frac{1}{3}}$ jest równa

A.  $\sqrt[3]{5^4}$                    B.  $5^4\cdot \sqrt[3]{5}$                    C.  $5^4+\sqrt[3]{5}$                    D.  $5^4+\sqrt{5^3}$

Rozwiązanie

 

 

---

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba ${\left(\sqrt{11}\cdot \sqrt[3]{11}\right)}^{\frac{1}{4}}$ jest równa 

A.  $11^{\frac{5}{24}}$                    B.  $11^{\frac{5}{4}}$                    C.  $11^{\frac{1}{2}}$                    D.  $11^{\frac{3}{2}}$

Rozwiązanie

${\left(\sqrt{11}\cdot \sqrt[3]{11}\right)}^{\frac{1}{4}}={\left(11^{\frac{1}{2}}\cdot 11^{\frac{1}{3}}\right)}^{\frac{1}{4}}={\left(11^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}\right)}^{\frac{1}{4}}={\left(11^{\frac{5}{6}}\right)}^{\frac{1}{4}}=11^{\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{4}}=11^{\frac{5}{24}}$

Odp. A

---

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej dodatniej liczby $a$ wyrażenie ${\left(\sqrt{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[6]{a}\right)}^{12}$ jest równe

A.  $a^{\frac{1}{4}}$                    B.  $a^{\frac{11}{12}}$                    C.  $a^{11}$                    D.  $a^{132}$

Rozwiązanie

${\left(\sqrt{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[6]{a}\right)}^{12}={\left(a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{\frac{1}{4}}\cdot a^{\frac{1}{6}}\right)}^{12}={\left(a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}}\right)}^{12}={\left(a^{\frac{11}{12}}\right)}^{12}=a^{\frac{11}{12}\cdot 12}=a^{11}$

Odp. C

---

Zadanie x. Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Liczbami całkowitymi nie są liczby ......................... oraz ......................... .

A.  ${\left(0,25\right)}^{-2}$               B.  $125^{\frac{1}{3}}$               C.  $36^{-\frac{1}{2}}$

D.  ${\left(1\frac{7}{9}\right)}^{\frac{1}{2}}$               E.  ${\left(\frac{1}{32}\right)}^{-\frac{1}{5}}$               F.  ${\left(0,\left(3\right)\right)}^{-1}$

Rozwiązanie

A.  ${\left(0,25\right)}^{-2}={\left(\frac{1}{4}\right)}^{-2}=4^2=16\to$ liczba całkowita

B.  $125^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{125}=5\to$   liczba całkowita

C.  $36^{-\frac{1}{2}}={\left(\frac{1}{36}\right)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}=\frac{1}{6}\to$   nie jest liczbą całkowitą

D.  ${\left(1\frac{7}{9}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left(\frac{16}{9}\right)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{4}{3}\to$   nie jest liczbą całkowitą

E.  ${\left(\frac{1}{32}\right)}^{-\frac{1}{5}}=32^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{32}=2\to$   liczba całkowita

F.  ${\left(0,\left(3\right)\right)}^{-1}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=3\to$   liczba całkowita

ODP. CD

---