Zadanie 3. O pewnym nieskończonym ciągu geometrycznym $\left(a_n\right)$ wiadomo, że żaden jego wyraz nie jest równy $0$ oraz że $a_2=\frac{1}{8}{a}_5$ i $4{\left(a_3\right)}^3=a_9$.
Wyznacz wzór ogólny tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

$$\begin{gathered} \begin{array}{ccccccccc}{a}_n=\underset{?}{\underbrace{a_1}}\cdot {\underset{?}{\underbrace{q}}}^{n-1}& & & & & & & & \\ \{\begin{array}{l}{a}_2=\frac{1}{8}{a}_5\\ 4{\left(a_3\right)}^3=a_9\end{array}& & & & & & & & \begin{array}{l}\boxed{a_n=a_1\cdot q^{n-1}}\\ a_2=a_1\cdot q,a_5=a_1\cdot q^4\\ a_3=a_1\cdot q^2,a_9=a_1\cdot q^8\end{array}\end{array} \\ \{\begin{array}{l}{a}_1\cdot q=\frac{1}{8}{a}_1\cdot q^4\\ 4{\left(a_1\cdot q^2\right)}^3=a_1\cdot q^8\end{array} \\ \{\begin{array}{l}{a}_1\cdot q=\frac{1}{8}{a}_1\cdot q^4\\ 4\cdot {\left(a_1\right)}^3\cdot {\left(q^2\right)}^3=a_1\cdot q^8\end{array} \\ \{\begin{array}{l}{a}_1\cdot q=\frac{1}{8}{a}_1\cdot q^4|:a_1\\ 4\cdot {\left(a_1\right)}^3\cdot q^6=a_1\cdot q^8|:a_1,a_1\ne 0\end{array} \end{gathered}$$