Niech $n>1$ i niech $a_{n-1}$, $a_n$ i $a_{n+1}$ będą trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego $\left(a_n\right)$, określonego dla liczb naturalnych dodatnich.

Wtedy:

$a_{n-1}\stackrel{+r}{\to }{a}_n\stackrel{+r}{\to }{a}_{n+1}$

$a_{n-1}\stackrel{+r}{\to }{a}_n\stackrel{-r}{\leftarrow }{a}_{n+1}$

Czyli:

$$\begin{gathered} a_n=a_{n-1}+r \\ \underline{+a_n=a_{n+1}-r} \\ 2a_n=a_{n-1}+r+a_{n+1}-r \\ 2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}|:2 \\ \boxed{a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}} \end{gathered}$$