całość- Zadanie całość: Kurs maturalny z matematyki podstawowej

Rozwiązanie

Metoda podstawiania

Metoda podstawiania polega na wykonaniu następujących kroków:

Z jednego równania wyznaczamy jedną z niewiadomych za pomocą drugiej
Podstawiamy otrzymane wyrażenie w miejsce tej niewiadomej do drugiego równania
Rozwiązujemy to otrzymane równanie
Podstawiamy otrzymaną wartość do pierwszego równania i obliczamy drugą niewiadomą

"Zobaczmy to od razu na przykładzie"

Przykład 1. Rozwiąż podany układ równań metodą podstawiania.

${4 x + 2 y = - 10 - x + y = 1 ∣ + x$

Początkowo w drugim równaniu dodajemy obustronnie x-a, dzięki czemu w drugim równaniu opisaliśmy y-a za pomocą x-a.

${4 x + 2 y = - 10 y = 1 + x$

Teraz podstawiamy w miejsce y-ka w pierwszym równaniu wyrażenie 1+x, ale pamiętając o tym, by zapisać je w nawiasie, ponieważ przed y-kiem w pierwszym równaniu stoi liczba 2.

${4 x + 2 (1 + x) = - 10 y = 1 + x$

Z pierwszego równania znajdziemy teraz x-a.

${4 x + 2 + 2 x = - 10 ∣ - 2 y = 1 + x$

${6 x = - 12 ∣ : 6 y = 1 + x$

${x = - 2 y = 1 + x$

Wstawiamy teraz do drugiego równania w miejsce x liczbę -2 i obliczamy, ile wynosi y.

${x = - 2 y = 1 - 2$

${x = - 2 y = - 1$

Otrzymujemy, że rozwiązaniem układu równań jest para liczb: x równy -2 i y równy -1.

${10 y - 12 - 2 x = 0 \frac{4 x + 4}{5} - 4 y = - 4 ∣ \cdot 5$

Rozpoczniemy od przekształcenia równań. W pierwszym dodajemy obustronnie 2x, a w drugim mnożymy obie strony równania przez 5. Dostajemy wtedy następujący układ równań.

${10 y - 12 = 2 x ∣ : 2 4 x + 4 - 20 y = - 20 ∣ - 4$

Teraz pierwsze równanie możemy obustronnie podzielić przez 2, a w drugim równaniu od oby dwóch stron równania odejmujemy czwórkę.

${5 y - 6 = x 4 x - 20 y = - 24$

Podstawiamy teraz w drugim równaniu w miejsce x-a wyrażenie 5y odjąć 6.

${x = 5 y - 6 4 (5 y - 6) - 20 y = - 24$

${x = 5 y - 6 20 y - 24 - 20 y = - 24$

${x = 5 y - 6 - 24 = - 24$

${x = 5 y - 6 0 = 0$

Układ nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań)

"Drugie równanie jest zawsze prawdziwe nie ważne co wstawimy w miejsce y. Podany układ równań ma więc nieskończenie wiele rozwiązań. Możemy też dodatkowo zapisać, że rozwiązaniem układu jest nieskończenie wiele par liczb postaci"

Rozwiązaniem układu jest nieskończenie wiele par liczb postaci:

${x = 5 y - 6 y \in R$

${\frac{y + 3}{6} = \frac{x + 1}{3} - 2 ∣ \cdot 6 0, 2 y - \frac{3}{5} = 0, 4 x$

Rozpoczniemy od uproszczenia równań. W pierwszym z nich pozbędziemy się ułamków poprzez pomnożenie oby dwóch stron równania przez 6.

W drugim równaniu natomiast zaczniemy od zapisania liczby 3/5 w postaci ułamka dziesiętnego czyli 6 dziesiątych.

${y + 3 = 2 (x + 1) - 12 0, 2 y - 0, 6 = 0, 4 x ∣ \cdot 10$

Spójrzmy na pierwsze równanie. Ułamek po lewej stronie pomnożyliśmy przez 6, czyli skracamy tę szóstkę z szóstką z mianownika i wystarczy, że przepiszemy sam licznik. Po prawej stronie równania początkowo gdy ułamek pomnożymy przez 6, to ta szóstka skróci się z trójką z mianownika i w liczniku zostaje nam jeszcze 2. Na koniec po prawej mnożymy jeszcze -2 przez 6.
Teraz uprościmy jeszcze drugie równanie. W tym celu mnożymy te obustronnie przez 10, dzięki czemu pozbędziemy się ułamków dziesiętnych.

${y + 3 = 2 x + 2 - 12 ∣ - 3 2 y - 6 = 4 x$

W pierwszym równaniu odejmujemy trójkę, dzięki czemu wyznaczymy y-ka.

${y = 2 x - 13 2 y - 6 = 4 x$

Teraz podstawiamy w miejsce y-ka w drugim równaniu wyrażenie 2x-13, ale pamiętając o tym, by zapisać je w nawiasie.

${y = 2 x - 13 2 (2 x - 13) - 6 = 4 x$

Wyznaczamy x-a z drugiego równania.

${y = 2 x - 13 4 x - 26 - 6 = 4 x$

${y = 2 x - 13 4 x - 32 = 4 x ∣ - 4 x$

${y = 2 x - 13 - 32 = 0$

Układ sprzeczny (brak rozwiązań)

Drugie równanie jest sprzeczne. Nie jest spełnione przez żadną wartość x. Czyli podany układ równań jest sprzeczny- żadna para liczb go nie spełnia.

W kolejnym filmie poznasz inną metodę rozwiązywania układów równań, natomiast teraz zwrócimy uwagę na trzy zadania wzorowane za zadaniach maturalnych, w których dosyć łatwo rozwiązać podane układy równań właśnie metodą podstawiania.

Zadanie 1. Dany jest układ równań ${x - 2 y = 2 - 3 x + 5 y + 3 = 0$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb

A. $x = \frac{20}{7} i y = \frac{3}{7}$ B. $x = - 4 i y = - 3$ C. $x = 8 i y = 3$ D. $x = \frac{28}{11} i y = \frac{3}{11}$

Rozwiążemy układ równań przećwiczoną przed chwilą metodą.

Rozwiązanie

${x - 2 y = 2 ∣ + 2 y - 3 x + 5 y + 3 = 0$

${x = 2 + 2 y - 3 (2 + 2 y) + 5 y + 3 = 0$

${x = 2 + 2 y - 6 - 6 y + 5 y + 3 = 0$

${x = 2 + 2 y - 3 - y = 0 ∣ + y$

${x = 2 + 2 y y = - 3$

${x = 2 + 2 \cdot (- 3) y = - 3$

${x = - 4 y = - 3$

Zadanie 2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rozwiązaniem układu równań ${\frac{1 - x}{2} - \frac{y - 1}{4} = 0 6 x + 5 y = 3$ jest para liczb

A. ujemnych.
B. których iloczyn jest równy $0$ .
C. dodatnich.
D. o przeciwnych znakach.

Rozwiązanie

${\frac{1 - x}{2} - \frac{y - 1}{4} = 0 ∣ \cdot 4 6 x + 5 y = 3$

${2 (1 - x) - (y - 1) = 0 6 x + 5 y = 3$

${2 - 2 x - y + 1 = 0 ∣ + y 6 x + 5 y = 3$

${3 - 2 x = y 6 x + 5 (3 - 2 x) = 3$

${3 - 2 x = y 6 x + 15 - 10 x = 3 ∣ - 15$

${3 - 2 x = y - 4 x = - 12 ∣ : (- 4)$

${3 - 2 x = y x = 3$

${3 - 2 \cdot 3 = y x = 3$

${y = - 3 x = 3$

Liczby $3$ i $- 3$ mają przeciwne znaki.

Zadanie 3. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układ równań ${x = 2 - y - y - x = 7$

A. ma nieskończenie wiele rozwiązań.
B. ma dokładnie dwa rozwiązania.
C. ma dokładnie jedno rozwiązanie.
D. nie ma rozwiązań.

Rozwiązanie

${x = 2 - y - y - (2 - y) = 7$

${x = 2 - y - y - 2 + y = 7$

${x = 2 - y - 2 = 7$

Układ jest sprzeczny, czyli nie ma rozwiązań.

Nikola Cziudaj

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.